Номер 56, страница 47 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

56. Решите уравнение:

1) $|x| + |x - 3| = 4;$

2) $|x - 2| + |x + 3| = 5;$

3) $|x| - |x - 3| = 4;$

4) $|2x - 6| - |x + 4| = 4x + 10.$

1) $|x| + |x - 3| = 4$

Для решения этого уравнения применим метод интервалов. Найдем точки, в которых выражения под знаком модуля обращаются в ноль:

$x = 0$

$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$

Эти точки разбивают числовую ось на три промежутка: $(-\infty, 0)$, $[0, 3)$ и $[3, +\infty)$. Решим уравнение на каждом из них.

а) При $x < 0$. На этом промежутке $|x| = -x$ и $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$. Уравнение принимает вид:

$-x + (3 - x) = 4$

$-2x + 3 = 4$

$-2x = 1$

$x = -0.5$

Так как $-0.5 < 0$, это значение является корнем уравнения.

б) При $0 \le x < 3$. На этом промежутке $|x| = x$ и $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$. Уравнение принимает вид:

$x + (3 - x) = 4$

$3 = 4$

Получено неверное равенство, следовательно, на данном промежутке корней нет.

в) При $x \ge 3$. На этом промежутке $|x| = x$ и $|x - 3| = x - 3$. Уравнение принимает вид:

$x + (x - 3) = 4$

$2x - 3 = 4$

$2x = 7$

$x = 3.5$

Так как $3.5 \ge 3$, это значение является корнем уравнения.

Ответ: $x_1 = -0.5, x_2 = 3.5$.

2) $|x - 2| + |x + 3| = 5$

Найдем точки, в которых выражения под знаком модуля обращаются в ноль:

$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$

$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$

Эти точки разбивают числовую ось на три промежутка: $(-\infty, -3)$, $[-3, 2)$ и $[2, +\infty)$.

а) При $x < -3$. На этом промежутке $|x - 2| = -(x - 2)$ и $|x + 3| = -(x + 3)$.

$-(x - 2) - (x + 3) = 5$

$-x + 2 - x - 3 = 5$

$-2x - 1 = 5$

$-2x = 6$

$x = -3$

Значение $x = -3$ не входит в интервал $x < -3$, но является его граничной точкой. Проверим его отдельно: $|-3 - 2| + |-3 + 3| = |-5| + |0| = 5$. Корень подходит.

б) При $-3 \le x < 2$. На этом промежутке $|x - 2| = -(x - 2)$ и $|x + 3| = x + 3$.

$-(x - 2) + (x + 3) = 5$

$-x + 2 + x + 3 = 5$

$5 = 5$

Получено верное тождество. Это означает, что все числа из промежутка $[-3, 2)$ являются решениями уравнения.

в) При $x \ge 2$. На этом промежутке $|x - 2| = x - 2$ и $|x + 3| = x + 3$.

$(x - 2) + (x + 3) = 5$

$2x + 1 = 5$

$2x = 4$

$x = 2$

Так как $2 \ge 2$, это значение является корнем уравнения.

Объединяя результаты из всех случаев, получаем, что решением является отрезок $[-3, 2]$.

Ответ: $x \in [-3, 2]$.

3) $|x| - |x - 3| = 4$

Найдем точки, в которых выражения под знаком модуля обращаются в ноль: $x = 0$ и $x = 3$.

Рассмотрим три промежутка: $(-\infty, 0)$, $[0, 3)$ и $[3, +\infty)$.

а) При $x < 0$. На этом промежутке $|x| = -x$ и $|x - 3| = -(x - 3)$.

$-x - (-(x - 3)) = 4$

$-x + x - 3 = 4$

$-3 = 4$

Неверное равенство, корней нет.

б) При $0 \le x < 3$. На этом промежутке $|x| = x$ и $|x - 3| = -(x - 3)$.

$x - (-(x - 3)) = 4$

$x + x - 3 = 4$

$2x - 3 = 4$

$2x = 7$

$x = 3.5$

Значение $x = 3.5$ не принадлежит промежутку $[0, 3)$, поэтому корнем не является.

в) При $x \ge 3$. На этом промежутке $|x| = x$ и $|x - 3| = x - 3$.

$x - (x - 3) = 4$

$x - x + 3 = 4$

$3 = 4$

Неверное равенство, корней нет.

Ответ: нет решений.

4) $|2x - 6| - |x + 4| = 4x + 10$

Упростим первый модуль: $|2x - 6| = |2(x - 3)| = 2|x - 3|$. Уравнение примет вид:

$2|x - 3| - |x + 4| = 4x + 10$

Найдем точки, в которых выражения под знаком модуля обращаются в ноль:

$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$

$x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$

Эти точки разбивают числовую ось на три промежутка: $(-\infty, -4)$, $[-4, 3)$ и $[3, +\infty)$.

а) При $x < -4$. На этом промежутке $|x - 3| = -(x - 3)$ и $|x + 4| = -(x + 4)$.

$2(-(x - 3)) - (-(x + 4)) = 4x + 10$

$-2x + 6 + x + 4 = 4x + 10$

$-x + 10 = 4x + 10$

$-5x = 0$

$x = 0$

Значение $x = 0$ не принадлежит промежутку $(-\infty, -4)$, поэтому корнем не является.

б) При $-4 \le x < 3$. На этом промежутке $|x - 3| = -(x - 3)$ и $|x + 4| = x + 4$.

$2(-(x - 3)) - (x + 4) = 4x + 10$

$-2x + 6 - x - 4 = 4x + 10$

$-3x + 2 = 4x + 10$

$-7x = 8$

$x = -8/7$

Значение $x = -8/7$ принадлежит промежутку $[-4, 3)$ (так как $-4 \le -1 \frac{1}{7} < 3$), поэтому является корнем.

в) При $x \ge 3$. На этом промежутке $|x - 3| = x - 3$ и $|x + 4| = x + 4$.

$2(x - 3) - (x + 4) = 4x + 10$

$2x - 6 - x - 4 = 4x + 10$

$x - 10 = 4x + 10$

$-3x = 20$

$x = -20/3$

Значение $x = -20/3 = -6 \frac{2}{3}$ не принадлежит промежутку $[3, +\infty)$, поэтому корнем не является.

Ответ: $x = -8/7$.