Номер 52, страница 46 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

52. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{3x - 10} + \sqrt{4x - 11};$

2) $\sqrt{4x + 5} - \frac{1}{\sqrt{11 - 2x}};$

3) $\sqrt{5x - 45} + \sqrt{8 - x}?$

1)

Выражение $\sqrt{3x - 10} + \sqrt{4x - 11}$ имеет смысл (определено), когда подкоренные выражения неотрицательны, то есть больше или равны нулю. Это условие приводит к системе из двух неравенств:

$\begin{cases} 3x - 10 \ge 0 \\ 4x - 11 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности:

1) $3x - 10 \ge 0$

$3x \ge 10$

$x \ge \frac{10}{3}$

2) $4x - 11 \ge 0$

$4x \ge 11$

$x \ge \frac{11}{4}$

Теперь необходимо найти пересечение решений этих двух неравенств. Сравним дроби $\frac{10}{3}$ и $\frac{11}{4}$. Приведем их к общему знаменателю 12: $\frac{10}{3} = \frac{40}{12}$ и $\frac{11}{4} = \frac{33}{12}$. Так как $\frac{40}{12} > \frac{33}{12}$, то $\frac{10}{3} > \frac{11}{4}$.

Для того чтобы переменная $x$ удовлетворяла обоим условиям ($x \ge \frac{10}{3}$ и $x \ge \frac{11}{4}$), она должна быть больше или равна большему из этих двух чисел. Следовательно, решением системы является $x \ge \frac{10}{3}$.

Ответ: $x \in [\frac{10}{3}, +\infty)$.

2)

Выражение $\sqrt{4x + 5} - \frac{1}{\sqrt{11 - 2x}}$ имеет смысл при одновременном выполнении двух условий:

1. Подкоренное выражение первого слагаемого должно быть неотрицательным: $4x + 5 \ge 0$.

2. Подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным, так как деление на ноль недопустимо, а корень из отрицательного числа не определен в области действительных чисел: $11 - 2x > 0$.

Составим и решим систему неравенств:

$\begin{cases} 4x + 5 \ge 0 \\ 11 - 2x > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$4x \ge -5$

$x \ge -\frac{5}{4}$

Решим второе неравенство:

$-2x > -11$

$x < \frac{-11}{-2}$ (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется)

$x < \frac{11}{2}$

Общим решением является пересечение этих двух условий: $-\frac{5}{4} \le x < \frac{11}{2}$.

Ответ: $x \in [-\frac{5}{4}, \frac{11}{2})$.

3)

Выражение $\sqrt{5x - 45} + \sqrt{8 - x}$ имеет смысл, когда оба подкоренных выражения неотрицательны. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 5x - 45 \ge 0 \\ 8 - x \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1) $5x - 45 \ge 0$

$5x \ge 45$

$x \ge 9$

2) $8 - x \ge 0$

$8 \ge x$

$x \le 8$

Теперь нужно найти значения $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $x \ge 9$ и $x \le 8$. Однако не существует ни одного числа, которое было бы одновременно больше или равно 9 и меньше или равно 8. Пересечение этих двух множеств пусто.

Следовательно, система неравенств не имеет решений, и выражение не имеет смысла ни при каких значениях переменной $x$.

Ответ: таких значений переменной не существует.