Номер 48, страница 46 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

48. Решите неравенство:

1) $-4 < x - 9 < 5;$

2) $-2.6 < 5x - 2 < 3;$

3) $0.8 < 1 - 3x < 3.7;$

4) $2 < \frac{x}{3} + 1 < 2.1;$

5) $3 \le \frac{5x + 2}{4} \le 4;$

6) $0.3 \le \frac{3 - 2x}{6} \le 0.5.$

1) $-4 < x - 9 < 5$

Чтобы решить это двойное неравенство, нужно изолировать $x$ в средней части. Для этого прибавим 9 ко всем трем частям неравенства:

$-4 + 9 < x - 9 + 9 < 5 + 9$

$5 < x < 14$

Решением является интервал $(5; 14)$.

Ответ: $(5; 14)$.

2) $-2,6 < 5x - 2 < 3$

Сначала прибавим 2 ко всем трем частям неравенства, чтобы избавиться от $-2$ в средней части:

$-2,6 + 2 < 5x - 2 + 2 < 3 + 2$

$-0,6 < 5x < 5$

Теперь разделим все три части на 5. Так как 5 — положительное число, знаки неравенства не меняются:

$\frac{-0,6}{5} < \frac{5x}{5} < \frac{5}{5}$

$-0,12 < x < 1$

Решением является интервал $(-0,12; 1)$.

Ответ: $(-0,12; 1)$.

3) $0,8 < 1 - 3x < 3,7$

Сначала вычтем 1 из всех трех частей неравенства:

$0,8 - 1 < 1 - 3x - 1 < 3,7 - 1$

$-0,2 < -3x < 2,7$

Теперь разделим все три части на -3. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-0,2}{-3} > \frac{-3x}{-3} > \frac{2,7}{-3}$

$\frac{0,2}{3} > x > -0,9$

$\frac{1}{15} > x > -0,9$

Запишем неравенство в привычном порядке, от меньшего числа к большему:

$-0,9 < x < \frac{1}{15}$

Решением является интервал $(-0,9; \frac{1}{15})$.

Ответ: $(-0,9; \frac{1}{15})$.

4) $2 < \frac{x}{3} + 1 < 2,1$

Сначала вычтем 1 из всех трех частей неравенства:

$2 - 1 < \frac{x}{3} + 1 - 1 < 2,1 - 1$

$1 < \frac{x}{3} < 1,1$

Теперь умножим все три части на 3. Знак неравенства не меняется:

$1 \cdot 3 < \frac{x}{3} \cdot 3 < 1,1 \cdot 3$

$3 < x < 3,3$

Решением является интервал $(3; 3,3)$.

Ответ: $(3; 3,3)$.

5) $3 \le \frac{5x + 2}{4} \le 4$

Сначала умножим все три части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$3 \cdot 4 \le \frac{5x + 2}{4} \cdot 4 \le 4 \cdot 4$

$12 \le 5x + 2 \le 16$

Теперь вычтем 2 из всех трех частей:

$12 - 2 \le 5x + 2 - 2 \le 16 - 2$

$10 \le 5x \le 14$

Наконец, разделим все три части на 5:

$\frac{10}{5} \le \frac{5x}{5} \le \frac{14}{5}$

$2 \le x \le 2,8$

Решением является отрезок $[2; 2,8]$.

Ответ: $[2; 2,8]$.

6) $0,3 \le \frac{3 - 2x}{6} \le 0,5$

Сначала умножим все три части неравенства на 6:

$0,3 \cdot 6 \le \frac{3 - 2x}{6} \cdot 6 \le 0,5 \cdot 6$

$1,8 \le 3 - 2x \le 3$

Теперь вычтем 3 из всех трех частей:

$1,8 - 3 \le 3 - 2x - 3 \le 3 - 3$

$-1,2 \le -2x \le 0$

Разделим все три части на -2. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-1,2}{-2} \ge \frac{-2x}{-2} \ge \frac{0}{-2}$

$0,6 \ge x \ge 0$

Запишем неравенство в привычном порядке, от меньшего числа к большему:

$0 \le x \le 0,6$

Решением является отрезок $[0; 0,6]$.

Ответ: $[0; 0,6]$.