Номер 51, страница 46 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

51. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x < 9, \\ x > 6, \\ x < 7,4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 7x - 2 > 13; \\ 5 - 2x < 8; \\ 6x - 5 > 3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 0,3 - 5x \geq 2,8, \\ 4,5x + 1 \geq 10, \\ 2,2x - 1 < 2x - 1,3. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x < 9, \\ x > 6, \\ x < 7,4. \end{cases} $

Решением системы является пересечение множеств решений каждого из неравенств. Необходимо найти значения $x$, которые одновременно удовлетворяют всем трем условиям.

Из второго неравенства имеем $x > 6$.

Из третьего неравенства имеем $x < 7,4$.

Объединяя эти два условия, получаем двойное неравенство: $6 < x < 7,4$.

Первое неравенство, $x < 9$, также должно выполняться. Если $x < 7,4$, то он автоматически будет меньше 9, поэтому это условие не добавляет новых ограничений.

Таким образом, решением системы является интервал от 6 до 7,4, не включая концы.

Ответ: $(6; 7,4)$.

2) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 7x - 2 > 13, \\ 5 - 2x < 8, \\ 6x - 5 > 3. \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Решаем первое неравенство:

$7x - 2 > 13$

$7x > 13 + 2$

$7x > 15$

$x > \frac{15}{7}$

2. Решаем второе неравенство:

$5 - 2x < 8$

$-2x < 8 - 5$

$-2x < 3$

При делении на отрицательное число (-2) знак неравенства меняется на противоположный:

$x > -\frac{3}{2}$

3. Решаем третье неравенство:

$6x - 5 > 3$

$6x > 3 + 5$

$6x > 8$

$x > \frac{8}{6}$, что сокращается до $x > \frac{4}{3}$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x > \frac{15}{7}$, $x > -\frac{3}{2}$ и $x > \frac{4}{3}$.

Сравним числа: $\frac{15}{7} \approx 2,14$; $-\frac{3}{2} = -1,5$; $\frac{4}{3} \approx 1,33$.

Чтобы $x$ удовлетворял всем трем условиям, он должен быть больше самого большого из этих чисел, то есть больше $\frac{15}{7}$.

Следовательно, решением системы является $x > \frac{15}{7}$.

Ответ: $(\frac{15}{7}; +\infty)$.

3) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 0,3 - 5x \ge 2,8, \\ 4,5x + 1 \ge 10, \\ 2,2x - 1 < 2x - 1,3. \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Решаем первое неравенство:

$0,3 - 5x \ge 2,8$

$-5x \ge 2,8 - 0,3$

$-5x \ge 2,5$

При делении на -5 знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{2,5}{-5}$

$x \le -0,5$

2. Решаем второе неравенство:

$4,5x + 1 \ge 10$

$4,5x \ge 10 - 1$

$4,5x \ge 9$

$x \ge \frac{9}{4,5}$

$x \ge 2$

3. Решаем третье неравенство:

$2,2x - 1 < 2x - 1,3$

$2,2x - 2x < -1,3 + 1$

$0,2x < -0,3$

$x < \frac{-0,3}{0,2}$

$x < -1,5$

Мы получили три условия для $x$: $x \le -0,5$, $x \ge 2$ и $x < -1,5$.

Рассмотрим первые два условия: $x \le -0,5$ и $x \ge 2$. Не существует числа, которое одновременно было бы меньше или равно -0,5 и больше или равно 2. Это означает, что уже эта пара неравенств не имеет общего решения.

Следовательно, вся система не имеет решений, так как множество решений является пустым.

Ответ: решений нет.