Номер 47, страница 46 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

47. Найдите множество решений системы неравенств:

1) $$\begin{cases}4(x - 1) - 3(x + 1) < x, \\0.5(x + 2) \le 2(x + 1.5) - 4;\end{cases}$$

2) $$\begin{cases}2 - \frac{4x - 1}{6} < 3x, \\x(x - 8) - 22 > (x + 2)(x - 10).\end{cases}$$

1)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 4(x - 1) - 3(x + 1) < x, \\ 0,5(x + 2) \le 2(x + 1,5) - 4. \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство:

$4(x - 1) - 3(x + 1) < x$

Раскроем скобки:

$4x - 4 - 3x - 3 < x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x - 7 < x$

Перенесем $x$ в левую часть, а $-7$ в правую:

$x - x < 7$

$0 < 7$

Полученное неравенство является верным числовым неравенством. Это означает, что решением первого неравенства является любое действительное число, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство:

$0,5(x + 2) \le 2(x + 1,5) - 4$

Раскроем скобки:

$0,5x + 1 \le 2x + 3 - 4$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$0,5x + 1 \le 2x - 1$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$1 + 1 \le 2x - 0,5x$

$2 \le 1,5x$

Разделим обе части на $1,5$:

$x \ge \frac{2}{1,5}$

$x \ge \frac{2}{3/2}$

$x \ge \frac{4}{3}$

Решением второго неравенства является числовой промежуток $[\frac{4}{3}; +\infty)$.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty; +\infty) \cap [\frac{4}{3}; +\infty)$.

Пересечением этих множеств является промежуток $[\frac{4}{3}; +\infty)$.

Ответ: $[\frac{4}{3}; +\infty)$.

2)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2 - \frac{4x - 1}{6} < 3x, \\ x(x - 8) - 22 > (x + 2)(x - 10). \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство:

$2 - \frac{4x - 1}{6} < 3x$

Умножим обе части неравенства на 6, чтобы избавиться от дроби:

$6 \cdot 2 - 6 \cdot \frac{4x - 1}{6} < 6 \cdot 3x$

$12 - (4x - 1) < 18x$

Раскроем скобки:

$12 - 4x + 1 < 18x$

$13 - 4x < 18x$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть:

$13 < 18x + 4x$

$13 < 22x$

Разделим обе части на 22:

$x > \frac{13}{22}$

Решением первого неравенства является промежуток $(\frac{13}{22}; +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство:

$x(x - 8) - 22 > (x + 2)(x - 10)$

Раскроем скобки в обеих частях:

$x^2 - 8x - 22 > x^2 - 10x + 2x - 20$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$x^2 - 8x - 22 > x^2 - 8x - 20$

Упростим неравенство, прибавив $8x$ и вычтя $x^2$ из обеих частей:

$-22 > -20$

Полученное неравенство является ложным, так как $-22$ меньше, чем $-20$. Следовательно, второе неравенство не имеет решений.

Поскольку одно из неравенств системы не имеет решений, то и вся система не имеет решений (решением системы является пересечение множеств решений, а пересечение любого множества с пустым множеством есть пустое множество).

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).