Номер 53, страница 46 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

53. Решите неравенство:

1) $(x + 7)(x - 1) \ge 0;$

2) $(x + 2)(x + 1) < 0;$

3) $\frac{x + 4}{x - 4} < 0;$

4) $\frac{x + 9}{3x - 9} > 0;$

5) $\frac{7x - 1}{x - 10} \ge 0;$

6) $\frac{4x - 8}{x + 5} \le 0.$

1) Для решения неравенства $(x+7)(x-1) \ge 0$ используем метод интервалов.
Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x+7)(x-1) = 0$.
Корни: $x+7=0 \Rightarrow x_1 = -7$ и $x-1=0 \Rightarrow x_2 = 1$.
Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -7]$, $[-7; 1]$ и $[1; +\infty)$.
Определим знак выражения $(x+7)(x-1)$ в каждом интервале:
- При $x < -7$ (например, $x=-8$): $(-8+7)(-8-1) = (-1)(-9) = 9 > 0$. Знак «+».
- При $-7 < x < 1$ (например, $x=0$): $(0+7)(0-1) = (7)(-1) = -7 < 0$. Знак «-».
- При $x > 1$ (например, $x=2$): $(2+7)(2-1) = (9)(1) = 9 > 0$. Знак «+».
Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), мы ищем значения, где выражение больше или равно нулю. Выбираем интервалы со знаком «+», включая концы.
Ответ: $x \in (-\infty; -7] \cup [1; +\infty)$.

2) Решим неравенство $(x+2)(x+1) < 0$ методом интервалов.
Найдем корни уравнения $(x+2)(x+1) = 0$.
Корни: $x+2=0 \Rightarrow x_1 = -2$ и $x+1=0 \Rightarrow x_2 = -1$.
Точки $-2$ и $-1$ делят числовую ось на интервалы $(-\infty; -2)$, $(-2; -1)$ и $(-1; +\infty)$.
Определим знак выражения в каждом интервале:
- При $x < -2$ (например, $x=-3$): $(-3+2)(-3+1) = (-1)(-2) = 2 > 0$. Знак «+».
- При $-2 < x < -1$ (например, $x=-1.5$): $(-1.5+2)(-1.5+1) = (0.5)(-0.5) = -0.25 < 0$. Знак «-».
- При $x > -1$ (например, $x=0$): $(0+2)(0+1) = (2)(1) = 2 > 0$. Знак «+».
Неравенство строгое ($<$), поэтому ищем интервал со знаком «-», не включая концы.
Ответ: $x \in (-2; -1)$.

3) Решим дробно-рациональное неравенство $\frac{x+4}{x-4} < 0$ методом интервалов.
Найдем нуль числителя: $x+4=0 \Rightarrow x = -4$.
Найдем нуль знаменателя: $x-4=0 \Rightarrow x = 4$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 4$.
Точки $-4$ и $4$ делят числовую ось на интервалы $(-\infty; -4)$, $(-4; 4)$ и $(4; +\infty)$.
Определим знак дроби в каждом интервале:
- При $x < -4$ (например, $x=-5$): $\frac{-5+4}{-5-4} = \frac{-1}{-9} > 0$. Знак «+».
- При $-4 < x < 4$ (например, $x=0$): $\frac{0+4}{0-4} = -1 < 0$. Знак «-».
- При $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{5+4}{5-4} = 9 > 0$. Знак «+».
Неравенство строгое ($<$), поэтому ищем интервал со знаком «-». Точки $-4$ и $4$ не включаются в решение.
Ответ: $x \in (-4; 4)$.

4) Решим неравенство $\frac{x+9}{3x-9} > 0$.
Найдем нуль числителя: $x+9=0 \Rightarrow x = -9$.
Найдем нуль знаменателя: $3x-9=0 \Rightarrow 3x=9 \Rightarrow x = 3$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 3$.
Точки $-9$ и $3$ делят числовую ось на интервалы $(-\infty; -9)$, $(-9; 3)$ и $(3; +\infty)$.
Определим знак дроби в каждом интервале:
- При $x < -9$ (например, $x=-10$): $\frac{-10+9}{3(-10)-9} = \frac{-1}{-39} > 0$. Знак «+».
- При $-9 < x < 3$ (например, $x=0$): $\frac{0+9}{3(0)-9} = \frac{9}{-9} < 0$. Знак «-».
- При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{4+9}{3(4)-9} = \frac{13}{3} > 0$. Знак «+».
Неравенство строгое ($>$), ищем интервалы со знаком «+». Точки $-9$ и $3$ не включаются.
Ответ: $x \in (-\infty; -9) \cup (3; +\infty)$.

5) Решим неравенство $\frac{7x-1}{x-10} \ge 0$.
Найдем нуль числителя: $7x-1=0 \Rightarrow 7x=1 \Rightarrow x = \frac{1}{7}$.
Найдем нуль знаменателя: $x-10=0 \Rightarrow x = 10$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 10$.
Точки $\frac{1}{7}$ и $10$ делят числовую ось на интервалы $(-\infty; \frac{1}{7}]$, $[\frac{1}{7}; 10)$ и $(10; +\infty)$.
Определим знак дроби в каждом интервале:
- При $x < \frac{1}{7}$ (например, $x=0$): $\frac{7(0)-1}{0-10} = \frac{-1}{-10} > 0$. Знак «+».
- При $\frac{1}{7} < x < 10$ (например, $x=1$): $\frac{7(1)-1}{1-10} = \frac{6}{-9} < 0$. Знак «-».
- При $x > 10$ (например, $x=11$): $\frac{7(11)-1}{11-10} = \frac{76}{1} > 0$. Знак «+».
Неравенство нестрогое ($\ge$), ищем интервалы со знаком «+». Нуль числителя ($x=\frac{1}{7}$) включается, а нуль знаменателя ($x=10$) исключается.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{7}] \cup (10; +\infty)$.

6) Решим неравенство $\frac{4x-8}{x+5} \le 0$.
Найдем нуль числителя: $4x-8=0 \Rightarrow 4x=8 \Rightarrow x = 2$.
Найдем нуль знаменателя: $x+5=0 \Rightarrow x = -5$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq -5$.
Точки $-5$ и $2$ делят числовую ось на интервалы $(-\infty; -5)$, $(-5; 2]$ и $[2; +\infty)$.
Определим знак дроби в каждом интервале:
- При $x < -5$ (например, $x=-6$): $\frac{4(-6)-8}{-6+5} = \frac{-32}{-1} > 0$. Знак «+».
- При $-5 < x < 2$ (например, $x=0$): $\frac{4(0)-8}{0+5} = \frac{-8}{5} < 0$. Знак «-».
- При $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{4(3)-8}{3+5} = \frac{4}{8} > 0$. Знак «+».
Неравенство нестрогое ($\le$), ищем интервал со знаком «-». Нуль числителя ($x=2$) включается, а нуль знаменателя ($x=-5$) исключается.
Ответ: $x \in (-5; 2]$.