Номер 58, страница 47 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

58. Для каждого значения $a$ решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x < -4, \\ x < a; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x < 4, \\ x > a. \end{cases}$

1) Дана система неравенств: $\begin{cases} x < -4, \\ x < a. \end{cases}$.

Решением системы является пересечение множеств решений каждого из неравенств. Первое неравенство задает промежуток $(-\infty; -4)$, второе — промежуток $(-\infty; a)$. Для нахождения пересечения этих промежутков необходимо сравнить значение параметра $a$ с числом $-4$.

Возможны два случая:

1. Если $a \le -4$, то любой $x$, удовлетворяющий условию $x < a$, автоматически удовлетворяет и условию $x < -4$, так как промежуток $(-\infty; a)$ является подмножеством промежутка $(-\infty; -4)$ (или совпадает с ним при $a=-4$). Следовательно, решением системы является неравенство $x < a$.

2. Если $a > -4$, то любой $x$, удовлетворяющий условию $x < -4$, автоматически удовлетворяет и условию $x < a$, так как промежуток $(-\infty; -4)$ является подмножеством промежутка $(-\infty; a)$. Следовательно, решением системы является неравенство $x < -4$.

Ответ: при $a \le -4$ решением является $x \in (-\infty; a)$; при $a > -4$ решением является $x \in (-\infty; -4)$.

2) Дана система неравенств: $\begin{cases} x < 4, \\ x > a. \end{cases}$.

Решением этой системы являются все значения $x$, которые одновременно удовлетворяют обоим неравенствам, что можно записать в виде двойного неравенства: $a < x < 4$.

Для того чтобы у этого двойного неравенства существовали решения, необходимо, чтобы левая граница интервала была строго меньше правой, то есть $a < 4$. Рассмотрим возможные случаи в зависимости от значения параметра $a$.

1. Если $a < 4$, то интервал $(a; 4)$ не является пустым. Решением системы являются все $x$ из этого интервала.

2. Если $a \ge 4$, то левая граница $a$ больше или равна правой границе $4$. В этом случае не существует числа $x$, которое было бы одновременно больше $a$ и меньше $4$. Пересечение множеств решений $(-\infty; 4)$ и $(a; \infty)$ является пустым множеством. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: при $a < 4$ решением является $x \in (a; 4)$; при $a \ge 4$ решений нет.