Номер 57, страница 47 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

57. Решите неравенство:

1) $ |x + 3| + 4x \ge 6; $

2) $ |x - 4| - 5x < 12; $

3) $ |x + 3| + |x - 3| \le 6; $

4) $ |x + 2| + |x - 3| > 4; $

5) $ |x + 2,2| - |x - 1,8| \le 2; $

6) $ |3x + 16| - |2x - 14| > 8. $

1) Решим неравенство $|x + 3| + 4x \ge 6$.

Для раскрытия модуля рассмотрим два случая.

Случай 1: $x + 3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$.
В этом случае $|x + 3| = x + 3$. Неравенство принимает вид:
$x + 3 + 4x \ge 6$
$5x \ge 3$
$x \ge \frac{3}{5}$
Учитывая условие $x \ge -3$, получаем решение для этого случая: $x \in [\frac{3}{5}; +\infty)$.

Случай 2: $x + 3 < 0$, то есть $x < -3$.
В этом случае $|x + 3| = -(x + 3) = -x - 3$. Неравенство принимает вид:
$-x - 3 + 4x \ge 6$
$3x \ge 9$
$x \ge 3$
Это решение не удовлетворяет условию $x < -3$, поэтому в этом случае решений нет.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый результат.

Ответ: $x \in [\frac{3}{5}; +\infty)$.

2) Решим неравенство $|x - 4| - 5x < 12$.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения под модулем.

Случай 1: $x - 4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$.
Тогда $|x - 4| = x - 4$.
$x - 4 - 5x < 12$
$-4x < 16$
$x > -4$
Пересекая с условием $x \ge 4$, получаем решение: $x \ge 4$.

Случай 2: $x - 4 < 0$, то есть $x < 4$.
Тогда $|x - 4| = -(x - 4) = 4 - x$.
$4 - x - 5x < 12$
$-6x < 8$
$x > -\frac{8}{6}$
$x > -\frac{4}{3}$
Пересекая с условием $x < 4$, получаем решение: $-\frac{4}{3} < x < 4$.

Объединяем решения из обоих случаев: $[4; +\infty) \cup (-\frac{4}{3}; 4)$.

Ответ: $x \in (-\frac{4}{3}; +\infty)$.

3) Решим неравенство $|x + 3| + |x - 3| \le 6$.

Используем метод интервалов. На числовой прямой отметим точки, где выражения под модулями равны нулю: $x = -3$ и $x = 3$. Эти точки разбивают прямую на три интервала.

Интервал 1: $x < -3$.
На этом интервале $|x + 3| = -x - 3$ и $|x - 3| = -x + 3$.
$(-x - 3) + (-x + 3) \le 6$
$-2x \le 6$
$x \ge -3$
Нет решений, так как условие $x < -3$ и результат $x \ge -3$ не пересекаются.

Интервал 2: $-3 \le x < 3$.
На этом интервале $|x + 3| = x + 3$ и $|x - 3| = -x + 3$.
$(x + 3) + (-x + 3) \le 6$
$6 \le 6$
Неравенство верно для всех $x$ из этого интервала. Решение: $[-3; 3)$.

Интервал 3: $x \ge 3$.
На этом интервале $|x + 3| = x + 3$ и $|x - 3| = x - 3$.
$(x + 3) + (x - 3) \le 6$
$2x \le 6$
$x \le 3$
Пересекая с условием $x \ge 3$, получаем единственное решение: $x = 3$.

Объединяем решения из всех интервалов: $[-3; 3) \cup \{3\}$.

Ответ: $x \in [-3; 3]$.

4) Решим неравенство $|x + 2| + |x - 3| > 4$.

Используем метод интервалов. Корни подмодульных выражений: $x = -2$ и $x = 3$.

Интервал 1: $x < -2$.
$|x + 2| = -x - 2$, $|x - 3| = -x + 3$.
$(-x - 2) + (-x + 3) > 4$
$-2x + 1 > 4$
$-2x > 3$
$x < -1.5$
Пересекая с $x < -2$, получаем $x < -2$.

Интервал 2: $-2 \le x < 3$.
$|x + 2| = x + 2$, $|x - 3| = -x + 3$.
$(x + 2) + (-x + 3) > 4$
$5 > 4$
Неравенство верно для всех $x$ из этого интервала. Решение: $[-2; 3)$.

Интервал 3: $x \ge 3$.
$|x + 2| = x + 2$, $|x - 3| = x - 3$.
$(x + 2) + (x - 3) > 4$
$2x - 1 > 4$
$2x > 5$
$x > 2.5$
Пересекая с $x \ge 3$, получаем $x \ge 3$.

Объединяем решения: $(-\infty; -2) \cup [-2; 3) \cup [3; +\infty)$. Это вся числовая прямая.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

5) Решим неравенство $|x + 2.2| - |x - 1.8| \le 2$.

Используем метод интервалов. Корни подмодульных выражений: $x = -2.2$ и $x = 1.8$.

Интервал 1: $x < -2.2$.
$|x + 2.2| = -x - 2.2$, $|x - 1.8| = -x + 1.8$.
$(-x - 2.2) - (-x + 1.8) \le 2$
$-x - 2.2 + x - 1.8 \le 2$
$-4 \le 2$
Неравенство верно для всех $x$ из этого интервала. Решение: $(-\infty; -2.2)$.

Интервал 2: $-2.2 \le x < 1.8$.
$|x + 2.2| = x + 2.2$, $|x - 1.8| = -x + 1.8$.
$(x + 2.2) - (-x + 1.8) \le 2$
$x + 2.2 + x - 1.8 \le 2$
$2x + 0.4 \le 2$
$2x \le 1.6$
$x \le 0.8$
Пересекая с условием $-2.2 \le x < 1.8$, получаем решение: $[-2.2; 0.8]$.

Интервал 3: $x \ge 1.8$.
$|x + 2.2| = x + 2.2$, $|x - 1.8| = x - 1.8$.
$(x + 2.2) - (x - 1.8) \le 2$
$4 \le 2$
Неравенство неверно. Решений в этом интервале нет.

Объединяем решения: $(-\infty; -2.2) \cup [-2.2; 0.8]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0.8]$.

6) Решим неравенство $|3x + 16| - |2x - 14| > 8$.

Используем метод интервалов. Корни подмодульных выражений: $3x+16=0 \Rightarrow x = -\frac{16}{3}$ и $2x-14=0 \Rightarrow x=7$.

Интервал 1: $x < -\frac{16}{3}$.
$|3x + 16| = -3x - 16$, $|2x - 14| = -2x + 14$.
$(-3x - 16) - (-2x + 14) > 8$
$-3x - 16 + 2x - 14 > 8$
$-x - 30 > 8$
$-x > 38$
$x < -38$
Это решение удовлетворяет условию $x < -\frac{16}{3}$.

Интервал 2: $-\frac{16}{3} \le x < 7$.
$|3x + 16| = 3x + 16$, $|2x - 14| = -2x + 14$.
$(3x + 16) - (-2x + 14) > 8$
$3x + 16 + 2x - 14 > 8$
$5x + 2 > 8$
$5x > 6$
$x > \frac{6}{5}$ (или $x > 1.2$)
Пересекая с условием интервала, получаем решение: $(\frac{6}{5}; 7)$.

Интервал 3: $x \ge 7$.
$|3x + 16| = 3x + 16$, $|2x - 14| = 2x - 14$.
$(3x + 16) - (2x - 14) > 8$
$x + 30 > 8$
$x > -22$
Пересекая с условием $x \ge 7$, получаем решение: $[7; +\infty)$.

Объединяем все найденные решения: $(-\infty; -38) \cup (\frac{6}{5}; 7) \cup [7; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -38) \cup (\frac{6}{5}; +\infty)$.