Номер 59, страница 47 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

59. При каких значениях $a$ корни уравнения $x^2 - (3a+2)x + 8a - 4a^2 = 0$ больше числа $-7$?

Для того чтобы оба корня квадратного уравнения $x^2 - (3a + 2)x + 8a - 4a^2 = 0$ были больше числа -7, необходимо и достаточно, чтобы для квадратичной функции $f(x) = x^2 - (3a + 2)x + 8a - 4a^2$ (графиком которой является парабола с ветвями вверх) одновременно выполнялись три условия:

1. Уравнение должно иметь действительные корни, то есть дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).
2. Абсцисса вершины параболы $x_в$ должна быть больше, чем -7 ($x_в > -7$).
3. Значение функции в точке $x = -7$ должно быть положительным ($f(-7) > 0$).

Рассмотрим каждое условие по отдельности.

1. Существование действительных корней

Найдем дискриминант уравнения:

$D = (-(3a + 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8a - 4a^2) = (3a + 2)^2 - 4(8a - 4a^2)$

$D = (9a^2 + 12a + 4) - (32a - 16a^2) = 9a^2 + 12a + 4 - 32a + 16a^2 = 25a^2 - 20a + 4$

Полученное выражение является полным квадратом:

$D = (5a - 2)^2$

Условие $D \ge 0$ принимает вид $(5a - 2)^2 \ge 0$. Это неравенство выполняется для любого действительного значения $a$.

2. Положение вершины параболы

Абсцисса вершины параболы $x_в$ находится по формуле $x_в = -\frac{b}{2a_{коэф}}$.

$x_в = -\frac{-(3a+2)}{2 \cdot 1} = \frac{3a+2}{2}$

Согласно условию, $x_в > -7$:

$\frac{3a+2}{2} > -7$

$3a+2 > -14$

$3a > -16$

$a > -\frac{16}{3}$

3. Значение функции в точке x = -7

Поскольку ветви параболы направлены вверх и ее вершина находится правее точки -7, для того чтобы оба корня были больше -7, значение функции в этой точке должно быть положительным.

$f(-7) = (-7)^2 - (3a + 2)(-7) + 8a - 4a^2 > 0$

$49 + 7(3a + 2) + 8a - 4a^2 > 0$

$49 + 21a + 14 + 8a - 4a^2 > 0$

$-4a^2 + 29a + 63 > 0$

Умножим неравенство на -1, изменив знак на противоположный:

$4a^2 - 29a - 63 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4a^2 - 29a - 63 = 0$:

$D_a = (-29)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-63) = 841 + 1008 = 1849 = 43^2$

$a_1 = \frac{29 - 43}{2 \cdot 4} = \frac{-14}{8} = -\frac{7}{4}$

$a_2 = \frac{29 + 43}{2 \cdot 4} = \frac{72}{8} = 9$

Так как парабола $y = 4a^2 - 29a - 63$ имеет ветви вверх, неравенство $4a^2 - 29a - 63 < 0$ выполняется на интервале между корнями: $-\frac{7}{4} < a < 9$.

Объединение условий

Для нахождения искомых значений параметра $a$ необходимо найти пересечение решений, полученных для каждого условия:

$\begin{cases} a \in (-\infty; +\infty) \\ a > -\frac{16}{3} \\ -\frac{7}{4} < a < 9 \end{cases}$

Сравним граничные значения: $-\frac{16}{3} \approx -5.33$ и $-\frac{7}{4} = -1.75$. Так как $-1.75 > -5.33$, то общим решением системы неравенств будет интервал, удовлетворяющий самому сильному ограничению снизу и ограничению сверху.

Итоговым решением является пересечение интервалов $(-\frac{16}{3}; +\infty)$ и $(-\frac{7}{4}; 9)$, что дает $(-\frac{7}{4}; 9)$.

Ответ: $a \in (-\frac{7}{4}; 9)$.