Номер 66, страница 48 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

66. На рисунке 5 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-4; 5]$. Пользуясь графиком, найдите:

1) $f(-3.5)$; $f(-2)$; $f(0)$; $f(1.5)$; $f(3)$; $f(4.5)$;

2) значения $x$, при которых $f(x) = -1.5$; $f(x) = 1.5$; $f(x) = 3$; $f(x) = 0$;

3) область значений функции.

Рис. 5

1) $f(-3,5); f(-2); f(0); f(1,5); f(3); f(4,5);$

Для нахождения значения функции по графику для заданного значения аргумента $x$, нужно найти на оси абсцисс (оси $x$) данное значение, провести вертикальную линию до пересечения с графиком и от точки пересечения провести горизонтальную линию до оси ординат (оси $y$). Полученное значение на оси $y$ является значением функции.
- Для $x = -3,5$ находим соответствующую точку на графике. Ее ордината равна $-1$. Следовательно, $f(-3,5) = -1$.
- Для $x = -2$ находим соответствующую точку на графике. Ее ордината равна $-2$. Следовательно, $f(-2) = -2$.
- Для $x = 0$ график пересекает ось ординат в точке $y=3$. Следовательно, $f(0) = 3$.
- Для $x = 1,5$ находим соответствующую точку на графике. Ее ордината равна $3,5$. Следовательно, $f(1,5) = 3,5$.
- Для $x = 3$ находим соответствующую точку на графике. Ее ордината равна $-1,5$. Следовательно, $f(3) = -1,5$.
- Для $x = 4,5$ находим соответствующую точку на графике. Ее ордината равна $1,5$. Следовательно, $f(4,5) = 1,5$.

Ответ: $f(-3,5) = -1$; $f(-2) = -2$; $f(0) = 3$; $f(1,5) = 3,5$; $f(3) = -1,5$; $f(4,5) = 1,5$.

2) значения $x$, при которых $f(x) = -1,5; f(x) = 1,5; f(x) = 3; f(x) = 0$;

Чтобы найти значения $x$, соответствующие заданному значению функции $f(x) = y$, нужно найти на оси ординат данное значение $y$, провести горизонтальную линию и найти абсциссы всех точек пересечения этой линии с графиком.
- При $f(x) = -1,5$: проводим горизонтальную прямую $y = -1,5$. Она пересекает график в трёх точках. Их абсциссы: $x \approx -2,6$, $x \approx -1,4$ и $x = 3$.
- При $f(x) = 1,5$: проводим горизонтальную прямую $y = 1,5$. Она пересекает график в трёх точках. Их абсциссы: $x \approx -0,75$, $x \approx 2,1$ и $x = 4,5$.
- При $f(x) = 3$: проводим горизонтальную прямую $y = 3$. Она пересекает график в трёх точках. Их абсциссы: $x = 0$, $x \approx 1,75$ и $x = 5$.
- При $f(x) = 0$: ищем точки пересечения графика с осью абсцисс ($y=0$). Это происходит в точках с абсциссами: $x = -3$, $x = 2,5$ и $x = 4$.

Ответ: $f(x) = -1,5$ при $x \approx -2,6$, $x \approx -1,4$, $x = 3$; $f(x) = 1,5$ при $x \approx -0,75$, $x \approx 2,1$, $x = 4,5$; $f(x) = 3$ при $x = 0$, $x \approx 1,75$, $x = 5$; $f(x) = 0$ при $x = -3$, $x = 2,5$, $x = 4$.

3) область значений функции.

Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает переменная $y$ на всей области определения функции. Чтобы найти ее по графику, нужно определить наименьшее и наибольшее значение функции (минимальную и максимальную ординату на графике) на заданном промежутке $x \in [-4; 5]$.
- Наименьшее значение функции (глобальный минимум) на данном промежутке достигается в точке $x = -2$ и равно $y_{min} = -2$.
- Наибольшее значение функции (глобальный максимум) на данном промежутке достигается в точке $x = 1$ и равно $y_{max} = 4$.
Поскольку функция непрерывна, она принимает все значения между наименьшим и наибольшим. Таким образом, область значений функции — это отрезок от $-2$ до $4$.

Ответ: $E(f) = [-2; 4]$.