Номер 69, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

69. Постройте график функции:

1) $f(x) = 5 + \frac{1}{3}x;$

2) $f(x) = -3x;$

3) $f(x) = -2;$

4) $f(x) = -\frac{4}{x}.$

Функция $f(x) = 5 + \frac{1}{3}x$ является линейной, ее график — прямая линия. Данный вид функции можно записать как $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = \frac{1}{3}$ и свободный член $b = 5$. Так как $k > 0$, функция возрастающая. График пересекает ось ординат в точке $(0, 5)$. Для построения прямой найдем еще одну точку — точку пересечения с осью абсцисс. Для этого приравняем функцию к нулю: $5 + \frac{1}{3}x = 0$, откуда $\frac{1}{3}x = -5$, и $x = -15$. Таким образом, вторая точка — $(-15, 0)$. Для построения графика необходимо отметить точки $(0, 5)$ и $(-15, 0)$ и провести через них прямую.
Ответ: Графиком является прямая, проходящая через точки $(0, 5)$ и $(-15, 0)$.

Функция $f(x) = -3x$ является прямой пропорциональностью, ее график — прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$. Угловой коэффициент $k = -3$. Так как $k < 0$, функция является убывающей, а ее график расположен во второй и четвертой координатных четвертях. Для построения прямой найдем еще одну точку. Пусть $x = 1$, тогда $f(1) = -3 \cdot 1 = -3$. Вторая точка — $(1, -3)$. Для построения графика нужно отметить точки $(0, 0)$ и $(1, -3)$ и провести через них прямую.
Ответ: Графиком является прямая, проходящая через начало координат и точку $(1, -3)$.

Функция $f(x) = -2$ является постоянной функцией (константой). Ее график — это прямая, параллельная оси абсцисс (оси X). Для любого значения аргумента $x$ значение функции постоянно и равно $-2$. Эта прямая проходит через точку $(0, -2)$ на оси ординат.
Ответ: Графиком является горизонтальная прямая $y = -2$, проходящая через точку $(0, -2)$ и параллельная оси X.

Функция $f(x) = -\frac{4}{x}$ является обратной пропорциональностью, ее график — гипербола. Коэффициент $k = -4$. Так как $k < 0$, ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат, то есть график бесконечно приближается к осям, но не пересекает их. Для построения графика найдем несколько контрольных точек для каждой ветви.
Для второй четверти ($x < 0$): при $x=-4, y=1$; при $x=-2, y=2$; при $x=-1, y=4$.
Для четвертой четверти ($x > 0$): при $x=1, y=-4$; при $x=2, y=-2$; при $x=4, y=-1$.
Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями в каждой четверти, получим искомый график.
Ответ: Графиком является гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях. Асимптоты — оси координат. График проходит через точки $(-4, 1)$, $(-2, 2)$, $(-1, 4)$, $(1, -4)$, $(2, -2)$, $(4, -1)$.