Номер 68, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

68. Найдите область значений функции:

1) $f(x) = \sqrt{x} + 3;$

2) $f(x) = \sqrt{x - 1};$

3) $f(x) = 2 - x^2;$

4) $f(x) = x^2 + 3;$

5) $f(x) = |x| + 1;$

6) $f(x) = \sqrt{x^2 + 1} - 3;$

7) $f(x) = \sqrt{-|x|};$

8) $f(x) = \sqrt{x - 1} + \sqrt{1 - x}.$

1) Областью значений функции $y = \sqrt{x}$ является промежуток $[0; +\infty)$, то есть $\sqrt{x} \ge 0$.

Чтобы найти область значений функции $f(x) = \sqrt{x} + 3$, прибавим 3 к обеим частям неравенства:

$\sqrt{x} + 3 \ge 0 + 3$

$f(x) \ge 3$

Следовательно, область значений функции — это все числа, большие или равные 3.

Ответ: $E(f) = [3; +\infty)$.

2) Значения функции $y = \sqrt{x}$ неотрицательны, то есть $\sqrt{x} \ge 0$.

Вычтем 1 из обеих частей неравенства, чтобы найти область значений для $f(x) = \sqrt{x} - 1$:

$\sqrt{x} - 1 \ge 0 - 1$

$f(x) \ge -1$

Таким образом, область значений функции — это все числа, большие или равные -1.

Ответ: $E(f) = [-1; +\infty)$.

3) Выражение $x^2$ принимает любые неотрицательные значения, то есть $x^2 \ge 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$-x^2 \le 0$

Теперь прибавим 2 к обеим частям:

$2 - x^2 \le 2$

$f(x) \le 2$

Это означает, что функция принимает значения, не превышающие 2.

Ответ: $E(f) = (-\infty; 2]$.

4) Поскольку $x^2$ всегда больше или равно нулю ($x^2 \ge 0$), мы можем найти наименьшее значение функции.

Прибавим 3 к обеим частям неравенства:

$x^2 + 3 \ge 0 + 3$

$f(x) \ge 3$

Следовательно, область значений функции начинается с 3 и включает все большие числа.

Ответ: $E(f) = [3; +\infty)$.

5) Модуль любого числа $|x|$ является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$.

Прибавим 1 к обеим частям этого неравенства:

$|x| + 1 \ge 0 + 1$

$f(x) \ge 1$

Область значений функции — это все числа, большие или равные 1.

Ответ: $E(f) = [1; +\infty)$.

6) Сначала оценим выражение под корнем. Так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 1 \ge 1$.

Поскольку подкоренное выражение всегда больше или равно 1, корень из него будет больше или равен $\sqrt{1}$:

$\sqrt{x^2 + 1} \ge \sqrt{1}$, то есть $\sqrt{x^2 + 1} \ge 1$.

Теперь вычтем 3 из обеих частей неравенства:

$\sqrt{x^2 + 1} - 3 \ge 1 - 3$

$f(x) \ge -2$

Область значений функции состоит из всех чисел, больших или равных -2.

Ответ: $E(f) = [-2; +\infty)$.

7) Для того чтобы функция была определена, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-|x| \ge 0$.

Мы знаем, что модуль любого числа $|x|$ всегда неотрицателен, то есть $|x| \ge 0$.

Умножая на -1, получаем $-|x| \le 0$.

Таким образом, мы имеем два условия: $-|x| \ge 0$ и $-|x| \le 0$. Единственное число, удовлетворяющее обоим условиям, — это 0. Следовательно, $-|x| = 0$, что возможно только при $x = 0$.

Область определения функции состоит из одной точки $x=0$. Найдем значение функции в этой точке:

$f(0) = \sqrt{-|0|} = \sqrt{0} = 0$.

Так как функция определена только в одной точке, ее область значений состоит из одного числа.

Ответ: $E(f) = \{0\}$.

8) Найдем область определения функции. Для этого выражения под каждым из корней должны быть неотрицательными.

Получаем систему неравенств:

$\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases}$

Решаем ее:

$\begin{cases} x \ge 1 \\ x \le 1 \end{cases}$

Единственное число, которое одновременно больше или равно 1 и меньше или равно 1, — это $x=1$.

Таким образом, область определения функции состоит из одной точки $x=1$. Вычислим значение функции в этой точке:

$f(1) = \sqrt{1 - 1} + \sqrt{1 - 1} = \sqrt{0} + \sqrt{0} = 0 + 0 = 0$.

Поскольку функция определена только в одной точке, ее область значений состоит только из этого значения.

Ответ: $E(f) = \{0\}$.