Номер 72, страница 50 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Найдём область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 1 \neq 0$. Отсюда $x \neq 1$. Область определения $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Упростим функцию. Для этого разложим числитель на множители по формуле разности квадратов: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
$f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1}$.
Так как $x \neq 1$, мы можем сократить дробь на $(x - 1)$. Получаем $f(x) = x + 1$.

Графиком функции является прямая $y = x + 1$ с одной "выколотой" точкой. Чтобы найти координаты этой точки, подставим $x = 1$ в упрощённое выражение для функции: $y = 1 + 1 = 2$. Таким образом, точка $(1; 2)$ не принадлежит графику. Для построения прямой найдём координаты двух точек, например:
- при $x=0$, $y=0+1=1$, точка $(0; 1)$;
- при $x=2$, $y=2+1=3$, точка $(2; 3)$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. График функции — прямая $y = x + 1$ с выколотой точкой $(1; 2)$.

Найдём область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $2 - x \neq 0$, откуда $x \neq 2$. Область определения $D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Упростим функцию. Числитель представляет собой полный квадрат: $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$.
$f(x) = \frac{(x - 2)^2}{2 - x} = \frac{(x - 2)^2}{-(x - 2)}$.
Сократим дробь на $(x - 2)$, так как $x \neq 2$:
$f(x) = \frac{x - 2}{-1} = -(x-2) = -x + 2$.

Графиком функции является прямая $y = -x + 2$ с выколотой точкой при $x = 2$. Найдем координаты этой точки: $y = -2 + 2 = 0$. Точка $(2; 0)$ не принадлежит графику. Для построения прямой найдём две точки:
- при $x=0$, $y=-0+2=2$, точка $(0; 2)$;
- при $x=1$, $y=-1+2=1$, точка $(1; 1)$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$. График функции — прямая $y = -x + 2$ с выколотой точкой $(2; 0)$.

Найдём область определения. Знаменатель $x^2 - 3x$ не должен быть равен нулю. $x^2 - 3x = 0 \implies x(x - 3) = 0$. Корни уравнения: $x = 0$ и $x = 3$. Таким образом, $x \neq 0$ и $x \neq 3$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; +\infty)$.

Упростим функцию, разложив числитель и знаменатель на множители:
$f(x) = \frac{3(x - 3)}{x(x - 3)}$.
Так как $x \neq 3$, сократим дробь на $(x - 3)$:
$f(x) = \frac{3}{x}$.

Графиком функции является гипербола $y = \frac{3}{x}$ с выколотой точкой при $x = 3$. Координаты этой точки: $y = \frac{3}{3} = 1$. Точка $(3; 1)$ не принадлежит графику. График имеет вертикальную асимптоту $x = 0$ (ось Oy) и горизонтальную асимптоту $y = 0$ (ось Ox).

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; +\infty)$. График функции — гипербола $y = \frac{3}{x}$ с выколотой точкой $(3; 1)$.

Найдём область определения. Знаменатель $|x| - 1$ не должен быть равен нулю. $|x| - 1 = 0 \implies |x| = 1$. Это означает, что $x \neq 1$ и $x \neq -1$. Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

Так как числитель и знаменатель дроби идентичны, для любого $x$ из области определения значение функции равно 1.
$f(x) = 1$.

Графиком функции является горизонтальная прямая $y = 1$ с двумя выколотыми точками, в которых $x = -1$ и $x = 1$. Координаты выколотых точек: $(-1; 1)$ и $(1; 1)$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$. График функции — прямая $y = 1$ с выколотыми точками $(-1; 1)$ и $(1; 1)$.