Номер 76, страница 52 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

76. Докажите, что функция:

1) $f(x) = \frac{5}{x+2}$ убывает на промежутке $(-2; +\infty)$;

2) $f(x) = 8x-x^2$ возрастает на промежутке $(-\infty; 4]$.

1) f(x) = $\frac{5}{x+2}$ убывает на промежутке $(-2; +\infty)$;

Чтобы доказать, что функция убывает на заданном промежутке, необходимо показать, что ее производная на этом промежутке отрицательна.

1. Находим производную функции $f(x) = \frac{5}{x+2}$.
Функцию можно представить в виде $f(x) = 5(x+2)^{-1}$. Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:
$f'(x) = (5(x+2)^{-1})' = 5 \cdot (-1) \cdot (x+2)^{-2} \cdot (x+2)' = -5(x+2)^{-2} \cdot 1 = -\frac{5}{(x+2)^2}$.

2. Определяем знак производной на промежутке $(-2; +\infty)$.
Выражение для производной $f'(x) = -\frac{5}{(x+2)^2}$ состоит из числителя $-5$ (отрицательное число) и знаменателя $(x+2)^2$. Так как квадрат любого ненулевого числа является положительным, а на промежутке $(-2; +\infty)$ выражение $x+2$ не равно нулю, то знаменатель $(x+2)^2$ всегда больше нуля.

Следовательно, производная $f'(x)$ представляет собой частное от деления отрицательного числа на положительное, что всегда дает отрицательный результат.
$f'(x) < 0$ для всех $x \in (-2; +\infty)$.

Так как производная функции отрицательна на всем заданном промежутке, это доказывает, что функция $f(x)$ убывает на промежутке $(-2; +\infty)$.
Ответ: Доказано, что функция $f(x) = \frac{5}{x+2}$ убывает на промежутке $(-2; +\infty)$.

2) f(x) = $8x - x^2$ возрастает на промежутке $(-\infty; 4]$;

Чтобы доказать, что функция возрастает на заданном промежутке, необходимо показать, что ее производная на этом промежутке неотрицательна (т.е. $f'(x) \ge 0$).

1. Находим производную функции $f(x) = 8x - x^2$.
$f'(x) = (8x - x^2)' = (8x)' - (x^2)' = 8 - 2x$.

2. Определяем знак производной на промежутке $(-\infty; 4]$.
Для этого решим неравенство $f'(x) \ge 0$:
$8 - 2x \ge 0$
$8 \ge 2x$
$4 \ge x$, что равносильно $x \le 4$.

Решение неравенства $x \le 4$ представляет собой промежуток $(-\infty; 4]$. Это означает, что для любого $x$ из этого промежутка производная $f'(x)$ неотрицательна. При этом производная равна нулю только в одной точке $x=4$.

Так как производная функции неотрицательна на всем заданном промежутке, это доказывает, что функция $f(x)$ возрастает на промежутке $(-\infty; 4]$.
Ответ: Доказано, что функция $f(x) = 8x - x^2$ возрастает на промежутке $(-\infty; 4]$.