Номер 70, страница 50 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

70. Найдите, не выполняя построения, точки пересечения с осями координат графика функции:

1) $f(x) = 3 - \frac{1}{4}x$;

2) $h(x) = \frac{2x+3}{x-3}$;

3) $g(x) = x^2 - 4x + 3$;

4) $f(x) = \frac{x^2 - 2}{x^2 + 2}$.

Для нахождения точек пересечения графика функции с осями координат необходимо:

• Для пересечения с осью ординат (Oy) подставить в функцию значение $x = 0$.
• Для пересечения с осью абсцисс (Ox) приравнять функцию к нулю ($y = 0$) и решить полученное уравнение относительно $x$.

1) $f(x) = 3 - \frac{1}{4}x$

Пересечение с осью Oy:
При $x = 0$, $y = f(0) = 3 - \frac{1}{4} \cdot 0 = 3$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 3)$.

Пересечение с осью Ox:
При $y = 0$, $3 - \frac{1}{4}x = 0$.
$\frac{1}{4}x = 3$
$x = 3 \cdot 4 = 12$.
Точка пересечения с осью Ox: $(12, 0)$.

Ответ: с осью Oy в точке $(0, 3)$; с осью Ox в точке $(12, 0)$.

2) $h(x) = \frac{2x + 3}{x - 3}$

Пересечение с осью Oy:
При $x = 0$, $y = h(0) = \frac{2 \cdot 0 + 3}{0 - 3} = \frac{3}{-3} = -1$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, -1)$.

Пересечение с осью Ox:
При $y = 0$, $\frac{2x + 3}{x - 3} = 0$.
Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$2x + 3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x = -1.5$.
Знаменатель при $x = -1.5$ не равен нулю: $-1.5 - 3 = -4.5 \neq 0$.
Точка пересечения с осью Ox: $(-1.5, 0)$.

Ответ: с осью Oy в точке $(0, -1)$; с осью Ox в точке $(-1.5, 0)$.

3) $g(x) = x^2 - 4x + 3$

Пересечение с осью Oy:
При $x = 0$, $y = g(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 3 = 3$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 3)$.

Пересечение с осью Ox:
При $y = 0$, $x^2 - 4x + 3 = 0$.
Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 4$
$x_1 \cdot x_2 = 3$
Отсюда $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.
Точки пересечения с осью Ox: $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

Ответ: с осью Oy в точке $(0, 3)$; с осью Ox в точках $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

4) $f(x) = \frac{x^2 - 2}{x^2 + 2}$

Пересечение с осью Oy:
При $x = 0$, $y = f(0) = \frac{0^2 - 2}{0^2 + 2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, -1)$.

Пересечение с осью Ox:
При $y = 0$, $\frac{x^2 - 2}{x^2 + 2} = 0$.
Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.
Знаменатель $x^2 + 2$ всегда больше нуля (т.к. $x^2 \ge 0$).
Точки пересечения с осью Ox: $(-\sqrt{2}, 0)$ и $(\sqrt{2}, 0)$.

Ответ: с осью Oy в точке $(0, -1)$; с осью Ox в точках $(-\sqrt{2}, 0)$ и $(\sqrt{2}, 0)$.