Номер 67, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

67. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = 2x - 17$;

2) $f(x) = \frac{3}{x+2}$;

3) $f(x) = \frac{x-7}{2}$;

4) $f(x) = \frac{x-3}{2x+3}$;

5) $f(x) = \sqrt{3+x}$;

6) $f(x) = \frac{2}{\sqrt{x-3}}$;

7) $f(x) = \frac{x}{x^2-3}$;

8) $f(x) = \frac{16}{x^2+16}$;

9) $f(x) = \frac{6x+19}{3x+x^2}$;

10) $f(x) = \frac{x+3}{|x|-5}$;

11) $f(x) = \frac{4}{|x|+6}$;

12) $f(x) = \frac{17}{|x|-x^2}$;

13) $f(x) = \sqrt{x+2} - \sqrt{2-x}$;

14) $f(x) = \sqrt{x-1} + \frac{x+3}{x-10}$;

15) $f(x) = \sqrt{x-4} + \sqrt{4-x}$;

16) $f(x) = \sqrt{x-3} - \frac{x-2}{\sqrt{2-x}}$;

17) $f(x) = \sqrt{x-4} + \frac{x-12}{x^2-16}$;

18) $f(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x+5}} + \frac{2x-3}{x^2-x-12}$.

1) $f(x) = 2x - 17$

Данная функция является линейной (многочленом первой степени). Область определения любого многочлена – все действительные числа, так как для любого значения $x$ можно вычислить значение функции.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2) $f(x) = \frac{3}{x+2}$

Данная функция является дробно-рациональной. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Таким образом, $x+2 \neq 0$, откуда $x \neq -2$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

3) $f(x) = \frac{x-7}{2}$

Данная функция является линейной, так как ее можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{2}x - \frac{7}{2}$. Знаменатель является константой и не равен нулю. Область определения – все действительные числа.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

4) $f(x) = \frac{x-3}{2x+3}$

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Таким образом, $2x+3 \neq 0$, откуда $2x \neq -3$ и $x \neq -1.5$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -1.5) \cup (-1.5; +\infty)$.

5) $f(x) = \sqrt{3+x}$

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Таким образом, $3+x \ge 0$, откуда $x \ge -3$.

Ответ: $D(f) = [-3; +\infty)$.

6) $f(x) = \frac{2}{\sqrt{x-3}}$

Выражение под знаком квадратного корня, находящегося в знаменателе, должно быть строго положительным. Таким образом, $x-3 > 0$, откуда $x > 3$.

Ответ: $D(f) = (3; +\infty)$.

7) $f(x) = \frac{x}{x^2 - 3}$

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Таким образом, $x^2 - 3 \neq 0$, откуда $x^2 \neq 3$, то есть $x \neq \sqrt{3}$ и $x \neq -\sqrt{3}$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}; \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty)$.

8) $f(x) = \frac{16}{x^2 + 16}$

Знаменатель дроби $x^2 + 16$ не должен быть равен нулю. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 16 \ge 16$. Знаменатель никогда не равен нулю. Поэтому область определения – все действительные числа.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

9) $f(x) = \frac{6x + 19}{3x + x^2}$

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Решим уравнение $3x + x^2 = 0 \implies x(3+x) = 0$. Корни уравнения: $x=0$ и $x=-3$. Эти значения необходимо исключить из области определения.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; +\infty)$.

10) $f(x) = \frac{x+3}{|x|-5}$

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Таким образом, $|x|-5 \neq 0$, откуда $|x| \neq 5$, то есть $x \neq 5$ и $x \neq -5$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -5) \cup (-5; 5) \cup (5; +\infty)$.

11) $f(x) = \frac{4}{|x|+6}$

Знаменатель дроби $|x|+6$ не должен быть равен нулю. Так как $|x| \ge 0$ для любого действительного $x$, то $|x|+6 \ge 6$. Знаменатель никогда не равен нулю. Поэтому область определения – все действительные числа.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

12) $f(x) = \frac{17}{|x|-x^2}$

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Решим уравнение $|x|-x^2 = 0$.
При $x \ge 0$, имеем $x - x^2 = 0 \implies x(1-x)=0$, откуда $x=0$ или $x=1$.
При $x < 0$, имеем $-x - x^2 = 0 \implies -x(1+x)=0$, откуда $x=-1$.
Исключаем значения $x = -1, 0, 1$ из области определения.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

13) $f(x) = \sqrt{x+2} - \sqrt{2-x}$

Область определения функции является пересечением областей определения каждого из слагаемых. Выражения под знаками корней должны быть неотрицательными. Решим систему неравенств:
$\begin{cases} x+2 \ge 0 \\ 2-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ x \le 2 \end{cases}$
Пересечением этих условий является отрезок $[-2, 2]$.

Ответ: $D(f) = [-2; 2]$.

14) $f(x) = \sqrt{x-1} + \frac{x+3}{x-10}$

Область определения функции является пересечением областей определения слагаемых. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
$x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$
$x-10 \neq 0 \implies x \neq 10$
Объединяя условия, получаем $x \ge 1$ и $x \neq 10$.

Ответ: $D(f) = [1; 10) \cup (10; +\infty)$.

15) $f(x) = \sqrt{x-4} + \sqrt{4-x}$

Выражения под знаками корней должны быть неотрицательными. Решим систему неравенств:
$\begin{cases} x-4 \ge 0 \\ 4-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 4 \\ x \le 4 \end{cases}$
Единственное число, удовлетворяющее обоим неравенствам, это $x=4$.

Ответ: $D(f) = \{4\}$.

16) $f(x) = \sqrt{x-3} - \frac{x-2}{\sqrt{2-x}}$

Необходимо выполнение двух условий: выражение под первым корнем должно быть неотрицательным, а выражение под вторым корнем (в знаменателе) — строго положительным. Решим систему неравенств:
$\begin{cases} x-3 \ge 0 \\ 2-x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 3 \\ x < 2 \end{cases}$
Эта система не имеет решений, так как не существует числа, которое одновременно больше или равно 3 и меньше 2. Область определения пуста.

Ответ: $D(f) = \emptyset$.

17) $f(x) = \sqrt{x-4} + \frac{x-12}{x^2-16}$

Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
$x-4 \ge 0 \implies x \ge 4$
$x^2-16 \neq 0 \implies x^2 \neq 16 \implies x \neq 4$ и $x \neq -4$.
Пересечением условий $x \ge 4$ и $x \neq 4$ является строгое неравенство $x > 4$.

Ответ: $D(f) = (4; +\infty)$.

18) $f(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x+5}} + \frac{2x-3}{x^2-x-12}$

Для первого слагаемого: выражение под корнем в числителе должно быть неотрицательным ($x+2 \ge 0$), а выражение под корнем в знаменателе — строго положительным ($x+5 > 0$).
$\begin{cases} x+2 \ge 0 \\ x+5 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ x > -5 \end{cases} \implies x \ge -2$.
Для второго слагаемого: знаменатель не должен быть равен нулю.
$x^2-x-12 \neq 0$. Найдем корни уравнения $x^2-x-12=0$. По теореме Виета $x_1=4, x_2=-3$.
Итак, $x \neq 4$ и $x \neq -3$.
Объединяя все условия ($x \ge -2$, $x \neq 4$, $x \neq -3$), получаем, что $x \ge -2$ и $x \neq 4$ (условие $x \neq -3$ выполняется автоматически, так как $-3 < -2$).

Ответ: $D(f) = [-2; 4) \cup (4; +\infty)$.