Номер 61, страница 47 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

61. При каких значениях $a$ один из корней уравнения $2x^2 - (3a+5)x + a^2 + 2a - 3 = 0$ меньше 3, а другой — больше 5?

Дано квадратное уравнение $2x^2 - (3a + 5)x + a^2 + 2a - 3 = 0$.

Обозначим левую часть уравнения как функцию от $x$: $f(x) = 2x^2 - (3a + 5)x + a^2 + 2a - 3$.

Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 2, он положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

По условию задачи, один из корней уравнения ($x_1$) меньше 3, а другой ($x_2$) — больше 5. Это можно записать как $x_1 < 3 < 5 < x_2$. Геометрически это означает, что точки с абсциссами 3 и 5 находятся между корнями параболы.

Для параболы с ветвями, направленными вверх, это условие выполняется тогда и только тогда, когда значения функции в точках $x=3$ и $x=5$ отрицательны. Таким образом, мы должны решить систему неравенств:
$ \begin{cases} f(3) < 0 \\ f(5) < 0 \end{cases} $

Заметим, что если парабола с ветвями вверх принимает хотя бы одно отрицательное значение, она обязательно пересекает ось абсцисс в двух различных точках. Следовательно, выполнение этой системы неравенств автоматически обеспечивает наличие двух различных действительных корней (то есть положительность дискриминанта).

1. Решим первое неравенство $f(3) < 0$:
$f(3) = 2 \cdot (3)^2 - (3a + 5) \cdot 3 + a^2 + 2a - 3 < 0$
$2 \cdot 9 - 9a - 15 + a^2 + 2a - 3 < 0$
$18 - 9a - 15 + a^2 + 2a - 3 < 0$
Приводим подобные члены:
$a^2 - 7a < 0$
$a(a - 7) < 0$
Решением этого неравенства является интервал $a \in (0; 7)$.

2. Решим второе неравенство $f(5) < 0$:
$f(5) = 2 \cdot (5)^2 - (3a + 5) \cdot 5 + a^2 + 2a - 3 < 0$
$2 \cdot 25 - 15a - 25 + a^2 + 2a - 3 < 0$
$50 - 15a - 25 + a^2 + 2a - 3 < 0$
Приводим подобные члены:
$a^2 - 13a + 22 < 0$
Для решения найдем корни квадратного трехчлена $a^2 - 13a + 22 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни: $a_1 = 2$ и $a_2 = 11$.
Неравенство можно записать в виде $(a - 2)(a - 11) < 0$.
Решением этого неравенства является интервал $a \in (2; 11)$.

3. Найдем общее решение системы.
Искомые значения параметра $a$ должны удовлетворять обоим неравенствам одновременно. Для этого найдем пересечение полученных интервалов:
$a \in (0; 7) \cap (2; 11)$
Пересечением этих интервалов является интервал $(2; 7)$.

Ответ: $a \in (2; 7)$.