Номер 55, страница 47 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

55. Решите неравенство:

1) $ \vert x \vert > 9; $

2) $ \vert x - 4 \vert \ge 3,2; $

3) $ \vert 0,4x + 3 \vert \ge 2; $

4) $ \vert 7 - 8x \vert > 9. $

1) $|x| > 9$

Неравенство с модулем вида $|A| > B$, где $B>0$, равносильно совокупности (объединению решений) двух неравенств: $A > B$ или $A < -B$.

В нашем случае $A=x$ и $B=9$. Таким образом, неравенство $|x| > 9$ распадается на два случая:

$x > 9$ или $x < -9$.

Решением является объединение этих двух промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty; -9) \cup (9; +\infty)$.

2) $|x - 4| \geq 3,2$

Неравенство вида $|A| \geq B$, где $B \geq 0$, равносильно совокупности двух неравенств: $A \geq B$ или $A \leq -B$.

Применяя это правило, получаем совокупность:

$x - 4 \geq 3.2$ или $x - 4 \leq -3.2$.

Решим каждое неравенство отдельно.

Первое неравенство:

$x - 4 \geq 3.2$

$x \geq 3.2 + 4$

$x \geq 7.2$

Второе неравенство:

$x - 4 \leq -3.2$

$x \leq -3.2 + 4$

$x \leq 0.8$

Объединяя решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; 0.8] \cup [7.2; +\infty)$.

3) $|0,4x + 3| \geq 2$

Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$0.4x + 3 \geq 2$ или $0.4x + 3 \leq -2$.

Решим первое неравенство:

$0.4x + 3 \geq 2$

$0.4x \geq 2 - 3$

$0.4x \geq -1$

$x \geq \frac{-1}{0.4}$

$x \geq -2.5$

Решим второе неравенство:

$0.4x + 3 \leq -2$

$0.4x \leq -2 - 3$

$0.4x \leq -5$

$x \leq \frac{-5}{0.4}$

$x \leq -12.5$

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x \in (-\infty; -12.5] \cup [-2.5; +\infty)$.

4) $|7 - 8x| > 9$

Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$7 - 8x > 9$ или $7 - 8x < -9$.

Решим первое неравенство:

$7 - 8x > 9$

$-8x > 9 - 7$

$-8x > 2$

При делении на отрицательное число ($-8$) знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{2}{-8}$

$x < -\frac{1}{4}$ или $x < -0.25$

Решим второе неравенство:

$7 - 8x < -9$

$-8x < -9 - 7$

$-8x < -16$

Аналогично, делим на $-8$ и меняем знак:

$x > \frac{-16}{-8}$

$x > 2$

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x \in (-\infty; -0.25) \cup (2; +\infty)$.