Номер 54, страница 47 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

54. Решите неравенство:

1) $|x| < 7$;

2) $|x - 1| \le 3,8$;

3) $|7x - 5| \le 3$;

4) $|5 - 4x| < 6.$

1)

Неравенство вида $|a| < b$ (где $b>0$) равносильно двойному неравенству $-b < a < b$.

Применяя это правило к неравенству $|x| < 7$, получаем:

$-7 < x < 7$

Это означает, что $x$ находится в интервале от -7 до 7, не включая концы интервала.

Ответ: $(-7; 7)$

2)

Неравенство вида $|a| \le b$ (где $b \ge 0$) равносильно двойному неравенству $-b \le a \le b$.

Применяя это правило к неравенству $|x - 1| \le 3,8$, получаем:

$-3,8 \le x - 1 \le 3,8$

Чтобы найти $x$, прибавим 1 ко всем частям двойного неравенства:

$-3,8 + 1 \le x - 1 + 1 \le 3,8 + 1$

$-2,8 \le x \le 4,8$

Решением является числовой отрезок, включая концы.

Ответ: $[-2,8; 4,8]$

3)

Данное неравенство $|7x - 5| \le 3$ также решается через двойное неравенство:

$-3 \le 7x - 5 \le 3$

Сначала прибавим 5 ко всем частям неравенства:

$-3 + 5 \le 7x - 5 + 5 \le 3 + 5$

$2 \le 7x \le 8$

Теперь разделим все части неравенства на 7. Так как 7 — положительное число, знаки неравенства не меняются.

$\frac{2}{7} \le x \le \frac{8}{7}$

Решением является числовой отрезок, включая концы.

Ответ: $[\frac{2}{7}; \frac{8}{7}]$

4)

Неравенство $|5 - 4x| < 6$ равносильно двойному неравенству:

$-6 < 5 - 4x < 6$

Вычтем 5 из всех частей неравенства:

$-6 - 5 < 5 - 4x - 5 < 6 - 5$

$-11 < -4x < 1$

Теперь разделим все части на -4. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-11}{-4} > x > \frac{1}{-4}$

$\frac{11}{4} > x > -\frac{1}{4}$

Запишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего числа к большему):

$-\frac{1}{4} < x < \frac{11}{4}$

Решением является интервал, не включая концы.

Ответ: $(-\frac{1}{4}; \frac{11}{4})$