Номер 60, страница 47 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

60. При каких значениях $a$ корни уравнения $x^2 - (5a - 2)x + 6a^2 - 4a = 0$ принадлежат промежутку $[4; 7]$?

Найдем корни данного квадратного уравнения $x^2 - (5a - 2)x + 6a^2 - 4a = 0$ в зависимости от параметра $a$.

Для этого вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-(5a - 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6a^2 - 4a) = (25a^2 - 20a + 4) - (24a^2 - 16a) = 25a^2 - 20a + 4 - 24a^2 + 16a = a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$.

Так как дискриминант является полным квадратом, корни уравнения можно выразить через $a$:

$x_1 = \frac{5a - 2 + \sqrt{(a - 2)^2}}{2} = \frac{5a - 2 + (a - 2)}{2} = \frac{6a - 4}{2} = 3a - 2$.

$x_2 = \frac{5a - 2 - \sqrt{(a - 2)^2}}{2} = \frac{5a - 2 - (a - 2)}{2} = \frac{4a}{2} = 2a$.

По условию задачи, оба корня должны принадлежать промежутку $[4; 7]$. Это означает, что должны одновременно выполняться два условия:

$4 \le x_1 \le 7 \implies 4 \le 3a - 2 \le 7$

$4 \le x_2 \le 7 \implies 4 \le 2a \le 7$

Решим каждое двойное неравенство относительно $a$.

Из первого неравенства:

$4 \le 3a - 2 \implies 6 \le 3a \implies a \ge 2$

$3a - 2 \le 7 \implies 3a \le 9 \implies a \le 3$

Таким образом, для первого корня получаем условие $a \in [2; 3]$.

Из второго неравенства:

$4 \le 2a \implies a \ge 2$

$2a \le 7 \implies a \le \frac{7}{2} \implies a \le 3.5$

Таким образом, для второго корня получаем условие $a \in [2; 3.5]$.

Для того чтобы оба корня принадлежали заданному промежутку, необходимо, чтобы оба условия на параметр $a$ выполнялись одновременно. Найдем пересечение полученных промежутков:

$[2; 3] \cap [2; 3.5] = [2; 3]$.

Ответ: $a \in [2; 3]$.