Номер 49, страница 46 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

49. Сколько целых решений имеет неравенство:

1) $-4 \le 2x - 5 \le 6;$

2) $-2 \le 4 - 11x \le 7?$

1) Чтобы решить двойное неравенство $-4 \leq 2x - 5 \leq 6$, необходимо изолировать переменную $x$ в его центральной части. Для этого выполняются тождественные преобразования со всеми тремя частями неравенства.

Сначала прибавим 5 ко всем частям неравенства, чтобы избавиться от $-5$ в центре:

$-4 + 5 \leq 2x - 5 + 5 \leq 6 + 5$

Выполнив сложение, получаем:

$1 \leq 2x \leq 11$

Далее, разделим все три части неравенства на 2, чтобы найти $x$:

$\frac{1}{2} \leq \frac{2x}{2} \leq \frac{11}{2}$

Что равносильно:

$0.5 \leq x \leq 5.5$

Теперь нужно найти все целые числа, которые находятся в промежутке от 0.5 до 5.5, включая концы. Такими числами являются: $1, 2, 3, 4, 5$.

Подсчитаем их количество: всего 5 чисел.

Ответ: 5

2) Решим двойное неравенство $-2 \leq 4 - 11x \leq 7$. Действуем аналогично предыдущему пункту, изолируя $x$.

Сначала вычтем 4 из всех частей неравенства:

$-2 - 4 \leq 4 - 11x - 4 \leq 7 - 4$

Выполнив вычитание, получаем:

$-6 \leq -11x \leq 3$

Теперь разделим все части неравенства на -11. При делении на отрицательное число знаки неравенства необходимо поменять на противоположные:

$\frac{-6}{-11} \geq \frac{-11x}{-11} \geq \frac{3}{-11}$

После упрощения получаем:

$\frac{6}{11} \geq x \geq -\frac{3}{11}$

Для удобства запишем неравенство в стандартном виде (от меньшего числа к большему):

$-\frac{3}{11} \leq x \leq \frac{6}{11}$

Чтобы определить целые решения, можно представить дроби в виде десятичных чисел: $-\frac{3}{11} \approx -0.27$, а $\frac{6}{11} \approx 0.54$.

Таким образом, неравенство можно записать как: $-0.27 \leq x \leq 0.54$.

Единственное целое число, попадающее в этот промежуток, — это 0.

Следовательно, данное неравенство имеет только одно целое решение.

Ответ: 1