Номер 46, страница 45 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

46. Сколько целых решений имеет система неравенств:

1) $\begin{cases} 8x - 19 < 5x - 7, \\ 2 - x > 3 - 4x; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 12x + 23 \geq 3x - 4, \\ 5x + 2 \geq 8x - 6; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 6x - 2 > 4x + 5, \\ 7x - 10 \leq 2x + 11; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{3x + 2}{2} - 2 \geq 4x, \\ (x + 5)(x - 3) \geq x(x - 1) - 19? \end{cases}$

1)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 8x - 19 < 5x - 7 \\ 2 - x > 3 - 4x \end{cases} $$

Решаем первое неравенство:

$8x - 5x < 19 - 7$

$3x < 12$

$x < 4$

Решаем второе неравенство:

$4x - x > 3 - 2$

$3x > 1$

$x > \frac{1}{3}$

Объединяем решения: $\frac{1}{3} < x < 4$.

Целые решения, принадлежащие этому интервалу: 1, 2, 3. Всего 3 решения.

Ответ: 3

2)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 12x + 23 \ge 3x - 4 \\ 5x + 2 \ge 8x - 6 \end{cases} $$

Решаем первое неравенство:

$12x - 3x \ge -4 - 23$

$9x \ge -27$

$x \ge -3$

Решаем второе неравенство:

$2 + 6 \ge 8x - 5x$

$8 \ge 3x$

$x \le \frac{8}{3}$

Объединяем решения: $-3 \le x \le \frac{8}{3}$.

Так как $\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$, целые решения, принадлежащие этому отрезку: -3, -2, -1, 0, 1, 2. Всего 6 решений.

Ответ: 6

3)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 6x - 2 > 4x + 5 \\ 7x - 10 \le 2x + 11 \end{cases} $$

Решаем первое неравенство:

$6x - 4x > 5 + 2$

$2x > 7$

$x > \frac{7}{2}$ или $x > 3.5$

Решаем второе неравенство:

$7x - 2x \le 11 + 10$

$5x \le 21$

$x \le \frac{21}{5}$ или $x \le 4.2$

Объединяем решения: $3.5 < x \le 4.2$.

Единственное целое решение, принадлежащее этому полуинтервалу: 4. Всего 1 решение.

Ответ: 1

4)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{3x + 2}{2} - 2 \ge 4x \\ (x + 5)(x - 3) \ge x(x - 1) - 19 \end{cases} $$

Решаем первое неравенство. Умножим обе части на 2:

$(3x + 2) - 4 \ge 8x$

$3x - 2 \ge 8x$

$-2 \ge 8x - 3x$

$-2 \ge 5x$

$x \le -\frac{2}{5}$ или $x \le -0.4$

Решаем второе неравенство. Раскроем скобки:

$x^2 - 3x + 5x - 15 \ge x^2 - x - 19$

$x^2 + 2x - 15 \ge x^2 - x - 19$

$2x - 15 \ge -x - 19$

$2x + x \ge -19 + 15$

$3x \ge -4$

$x \ge -\frac{4}{3}$ или $x \ge -1\frac{1}{3}$

Объединяем решения: $-\frac{4}{3} \le x \le -\frac{2}{5}$.

В десятичных дробях: $-1.33... \le x \le -0.4$.

Единственное целое решение, принадлежащее этому отрезку: -1. Всего 1 решение.

Ответ: 1