Номер 44, страница 45 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

44. Изобразите на координатной прямой и запишите пересечение промежутков:

1) $ [-5; 11] $ и $ [6; 13] $;

2) $ (3; 8) $ и $ [3; 10] $;

3) $ (-\infty; 6,3) $ и $ (2,5; +\infty) $;

4) $ (-\infty; 4,1) $ и $ (4,7; +\infty) $;

5) $ [2; +\infty) $ и $ [5,6; +\infty) $;

6) $ [4; 13] $ и $ [7,2; 11] $.

1) $[-5; 11]$ и $[6; 13]$
Чтобы найти пересечение промежутков, изобразим их на координатной прямой. Первый промежуток $[-5; 11]$ — это множество чисел $x$, таких что $-5 \le x \le 11$. Второй промежуток $[6; 13]$ — это множество чисел $x$, таких что $6 \le x \le 13$. На координатной прямой это два отрезка. Их общая часть (пересечение) — это множество чисел, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно. Это числа от 6 до 11, включая концы. Таким образом, пересечением является промежуток $[6; 11]$.
Математическая запись: $[-5; 11] \cap [6; 13] = [6; 11]$.
Ответ: $[6; 11]$.

2) $(3; 8]$ и $[3; 10]$
Изобразим на координатной прямой промежуток $(3; 8]$, который соответствует неравенству $3 < x \le 8$, и промежуток $[3; 10]$, соответствующий неравенству $3 \le x \le 10$. Пересечением будет множество чисел, удовлетворяющих обоим неравенствам. Это числа, которые строго больше 3 и меньше или равны 8. Точка 3 не входит в первый промежуток, поэтому она не входит и в пересечение. Точка 8 входит в оба промежутка, поэтому она входит в пересечение. Таким образом, результатом является промежуток $(3; 8]$.
Математическая запись: $(3; 8] \cap [3; 10] = (3; 8]$.
Ответ: $(3; 8]$.

3) $(-\infty; 6,3)$ и $(2,5; +\infty)$
Изобразим на координатной прямой промежуток $(-\infty; 6,3)$, то есть все числа $x < 6,3$, и промежуток $(2,5; +\infty)$, то есть все числа $x > 2,5$. Пересечением будет множество чисел, которые одновременно больше 2,5 и меньше 6,3. Это интервал от 2,5 до 6,3, не включая концы.
Математическая запись: $(-\infty; 6,3) \cap (2,5; +\infty) = (2,5; 6,3)$.
Ответ: $(2,5; 6,3)$.

4) $(-\infty; 4,1)$ и $(4,7; +\infty)$
Изобразим на координатной прямой луч $(-\infty; 4,1)$ (все числа $x < 4,1$) и луч $(4,7; +\infty)$ (все числа $x > 4,7$). На прямой видно, что эти два множества не имеют общих точек, так как не существует числа, которое было бы одновременно меньше 4,1 и больше 4,7. Следовательно, их пересечение является пустым множеством ($\emptyset$).
Математическая запись: $(-\infty; 4,1) \cap (4,7; +\infty) = \emptyset$.
Ответ: $\emptyset$.

5) $[2; +\infty)$ и $[5,6; +\infty)$
Изобразим на координатной прямой луч $[2; +\infty)$ (все числа $x \ge 2$) и луч $[5,6; +\infty)$ (все числа $x \ge 5,6$). Пересечением будет множество чисел, которые удовлетворяют обоим условиям. Если число больше или равно 5,6, оно автоматически больше или равно 2. Поэтому пересечением будет луч $[5,6; +\infty)$.
Математическая запись: $[2; +\infty) \cap [5,6; +\infty) = [5,6; +\infty)$.
Ответ: $[5,6; +\infty)$.

6) $[4; 13]$ и $[7,2; 11)$
Изобразим на координатной прямой отрезок $[4; 13]$ ($4 \le x \le 13$) и полуинтервал $[7,2; 11)$ ($7,2 \le x < 11$). Общей частью будет множество чисел, удовлетворяющих обоим неравенствам. Это числа от 7,2 (включительно) до 11 (не включительно). Таким образом, пересечением является полуинтервал $[7,2; 11)$.
Математическая запись: $[4; 13] \cap [7,2; 11) = [7,2; 11)$.
Ответ: $[7,2; 11)$.