Номер 45, страница 45 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

45. Решите систему неравенств:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

1)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} -4x > 16 \\ -3x > 4 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$-4x > 16$

Разделим обе части на -4 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x < \frac{16}{-4}$

$x < -4$

2. Решим второе неравенство:

$-3x > 4$

Разделим обе части на -3 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x < \frac{4}{-3}$

$x < -1\frac{1}{3}$

3. Найдем пересечение решений двух неравенств: $x < -4$ и $x < -1\frac{1}{3}$. На числовой прямой отметим оба интервала. Пересечением будет интервал, где выполняются оба условия, то есть $x < -4$.

Решение системы в виде интервала: $(-\infty; -4)$.

Ответ: $(-\infty; -4)$.

2)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 4x - 3 \geq x + 6 \\ 5x + 1 \geq 6x - 11 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$4x - 3 \geq x + 6$

$4x - x \geq 6 + 3$

$3x \geq 9$

$x \geq 3$

2. Решим второе неравенство:

$5x + 1 \geq 6x - 11$

$1 + 11 \geq 6x - 5x$

$12 \geq x$ или $x \leq 12$

3. Найдем пересечение решений: $x \geq 3$ и $x \leq 12$. Это означает, что $x$ находится в промежутке от 3 до 12, включая концы.

Решение системы в виде интервала: $[3; 12]$.

Ответ: $[3; 12]$.

3)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 0,4(x - 2) \leq 0,6x + 1 \\ 5x + 3 > 4(x + 1,25) \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$0,4(x - 2) \leq 0,6x + 1$

$0,4x - 0,8 \leq 0,6x + 1$

$-0,8 - 1 \leq 0,6x - 0,4x$

$-1,8 \leq 0,2x$

$x \geq \frac{-1,8}{0,2}$

$x \geq -9$

2. Решим второе неравенство:

$5x + 3 > 4(x + 1,25)$

$5x + 3 > 4x + 5$

$5x - 4x > 5 - 3$

$x > 2$

3. Найдем пересечение решений: $x \geq -9$ и $x > 2$. Общим решением является $x > 2$.

Решение системы в виде интервала: $(2; +\infty)$.

Ответ: $(2; +\infty)$.

4)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x(x + 3) > (x + 1)(x - 2) - 1 \\ (2x + 1)(x + 2) - (x - 2)(x - 4) < x^2 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$x^2 + 3x > x^2 - 2x + x - 2 - 1$

$x^2 + 3x > x^2 - x - 3$

$3x > -x - 3$

$4x > -3$

$x > -\frac{3}{4}$

2. Решим второе неравенство:

$(2x^2 + 4x + x + 2) - (x^2 - 4x - 2x + 8) < x^2$

$(2x^2 + 5x + 2) - (x^2 - 6x + 8) < x^2$

$2x^2 + 5x + 2 - x^2 + 6x - 8 < x^2$

$x^2 + 11x - 6 < x^2$

$11x - 6 < 0$

$11x < 6$

$x < \frac{6}{11}$

3. Найдем пересечение решений: $x > -3/4$ и $x < 6/11$.

Решение системы в виде интервала: $(-\frac{3}{4}; \frac{6}{11})$.

Ответ: $(-\frac{3}{4}; \frac{6}{11})$.

5)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{2x - 1}{4} - \frac{4 - x}{2} > \frac{3}{4} \\ \frac{x - 1}{2} < \frac{2 - x}{3} + \frac{1}{2} \end{cases} $

1. Решим первое неравенство. Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

$(2x - 1) - 2(4 - x) > 3$

$2x - 1 - 8 + 2x > 3$

$4x - 9 > 3$

$4x > 12$

$x > 3$

2. Решим второе неравенство. Умножим обе части на 6:

$3(x - 1) < 2(2 - x) + 3$

$3x - 3 < 4 - 2x + 3$

$3x - 3 < 7 - 2x$

$5x < 10$

$x < 2$

3. Найдем пересечение решений: $x > 3$ и $x < 2$. Не существует числа, которое одновременно больше 3 и меньше 2, поэтому система не имеет решений.

Ответ: нет решений (или $\emptyset$).

6)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} (2x + 1)^2 + 2x \leq (2x - 1)(2x + 1) - 4 \\ \frac{2x - 1}{2} \geq \frac{x - 5}{4} - \frac{x + 1}{8} \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$(4x^2 + 4x + 1) + 2x \leq (4x^2 - 1) - 4$

$4x^2 + 6x + 1 \leq 4x^2 - 5$

$6x + 1 \leq -5$

$6x \leq -6$

$x \leq -1$

2. Решим второе неравенство. Умножим обе части на 8:

$4(2x - 1) \geq 2(x - 5) - (x + 1)$

$8x - 4 \geq 2x - 10 - x - 1$

$8x - 4 \geq x - 11$

$7x \geq -7$

$x \geq -1$

3. Найдем пересечение решений: $x \leq -1$ и $x \geq -1$. Единственное число, удовлетворяющее обоим условиям, это $x = -1$.

Ответ: $\{-1\}$.