Страница 46 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

47. Найдите множество решений системы неравенств:

1) $$\begin{cases}4(x - 1) - 3(x + 1) < x, \\0.5(x + 2) \le 2(x + 1.5) - 4;\end{cases}$$

2) $$\begin{cases}2 - \frac{4x - 1}{6} < 3x, \\x(x - 8) - 22 > (x + 2)(x - 10).\end{cases}$$

1)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 4(x - 1) - 3(x + 1) < x, \\ 0,5(x + 2) \le 2(x + 1,5) - 4. \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство:

$4(x - 1) - 3(x + 1) < x$

Раскроем скобки:

$4x - 4 - 3x - 3 < x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x - 7 < x$

Перенесем $x$ в левую часть, а $-7$ в правую:

$x - x < 7$

$0 < 7$

Полученное неравенство является верным числовым неравенством. Это означает, что решением первого неравенства является любое действительное число, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство:

$0,5(x + 2) \le 2(x + 1,5) - 4$

Раскроем скобки:

$0,5x + 1 \le 2x + 3 - 4$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$0,5x + 1 \le 2x - 1$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$1 + 1 \le 2x - 0,5x$

$2 \le 1,5x$

Разделим обе части на $1,5$:

$x \ge \frac{2}{1,5}$

$x \ge \frac{2}{3/2}$

$x \ge \frac{4}{3}$

Решением второго неравенства является числовой промежуток $[\frac{4}{3}; +\infty)$.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty; +\infty) \cap [\frac{4}{3}; +\infty)$.

Пересечением этих множеств является промежуток $[\frac{4}{3}; +\infty)$.

Ответ: $[\frac{4}{3}; +\infty)$.

2)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2 - \frac{4x - 1}{6} < 3x, \\ x(x - 8) - 22 > (x + 2)(x - 10). \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство:

$2 - \frac{4x - 1}{6} < 3x$

Умножим обе части неравенства на 6, чтобы избавиться от дроби:

$6 \cdot 2 - 6 \cdot \frac{4x - 1}{6} < 6 \cdot 3x$

$12 - (4x - 1) < 18x$

Раскроем скобки:

$12 - 4x + 1 < 18x$

$13 - 4x < 18x$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть:

$13 < 18x + 4x$

$13 < 22x$

Разделим обе части на 22:

$x > \frac{13}{22}$

Решением первого неравенства является промежуток $(\frac{13}{22}; +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство:

$x(x - 8) - 22 > (x + 2)(x - 10)$

Раскроем скобки в обеих частях:

$x^2 - 8x - 22 > x^2 - 10x + 2x - 20$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$x^2 - 8x - 22 > x^2 - 8x - 20$

Упростим неравенство, прибавив $8x$ и вычтя $x^2$ из обеих частей:

$-22 > -20$

Полученное неравенство является ложным, так как $-22$ меньше, чем $-20$. Следовательно, второе неравенство не имеет решений.

Поскольку одно из неравенств системы не имеет решений, то и вся система не имеет решений (решением системы является пересечение множеств решений, а пересечение любого множества с пустым множеством есть пустое множество).

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

48. Решите неравенство:

1) $-4 < x - 9 < 5;$

2) $-2.6 < 5x - 2 < 3;$

3) $0.8 < 1 - 3x < 3.7;$

4) $2 < \frac{x}{3} + 1 < 2.1;$

5) $3 \le \frac{5x + 2}{4} \le 4;$

6) $0.3 \le \frac{3 - 2x}{6} \le 0.5.$

1) $-4 < x - 9 < 5$

Чтобы решить это двойное неравенство, нужно изолировать $x$ в средней части. Для этого прибавим 9 ко всем трем частям неравенства:

$-4 + 9 < x - 9 + 9 < 5 + 9$

$5 < x < 14$

Решением является интервал $(5; 14)$.

Ответ: $(5; 14)$.

2) $-2,6 < 5x - 2 < 3$

Сначала прибавим 2 ко всем трем частям неравенства, чтобы избавиться от $-2$ в средней части:

$-2,6 + 2 < 5x - 2 + 2 < 3 + 2$

$-0,6 < 5x < 5$

Теперь разделим все три части на 5. Так как 5 — положительное число, знаки неравенства не меняются:

$\frac{-0,6}{5} < \frac{5x}{5} < \frac{5}{5}$

$-0,12 < x < 1$

Решением является интервал $(-0,12; 1)$.

Ответ: $(-0,12; 1)$.

3) $0,8 < 1 - 3x < 3,7$

Сначала вычтем 1 из всех трех частей неравенства:

$0,8 - 1 < 1 - 3x - 1 < 3,7 - 1$

$-0,2 < -3x < 2,7$

Теперь разделим все три части на -3. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-0,2}{-3} > \frac{-3x}{-3} > \frac{2,7}{-3}$

$\frac{0,2}{3} > x > -0,9$

$\frac{1}{15} > x > -0,9$

Запишем неравенство в привычном порядке, от меньшего числа к большему:

$-0,9 < x < \frac{1}{15}$

Решением является интервал $(-0,9; \frac{1}{15})$.

Ответ: $(-0,9; \frac{1}{15})$.

4) $2 < \frac{x}{3} + 1 < 2,1$

Сначала вычтем 1 из всех трех частей неравенства:

$2 - 1 < \frac{x}{3} + 1 - 1 < 2,1 - 1$

$1 < \frac{x}{3} < 1,1$

Теперь умножим все три части на 3. Знак неравенства не меняется:

$1 \cdot 3 < \frac{x}{3} \cdot 3 < 1,1 \cdot 3$

$3 < x < 3,3$

Решением является интервал $(3; 3,3)$.

Ответ: $(3; 3,3)$.

5) $3 \le \frac{5x + 2}{4} \le 4$

Сначала умножим все три части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$3 \cdot 4 \le \frac{5x + 2}{4} \cdot 4 \le 4 \cdot 4$

$12 \le 5x + 2 \le 16$

Теперь вычтем 2 из всех трех частей:

$12 - 2 \le 5x + 2 - 2 \le 16 - 2$

$10 \le 5x \le 14$

Наконец, разделим все три части на 5:

$\frac{10}{5} \le \frac{5x}{5} \le \frac{14}{5}$

$2 \le x \le 2,8$

Решением является отрезок $[2; 2,8]$.

Ответ: $[2; 2,8]$.

6) $0,3 \le \frac{3 - 2x}{6} \le 0,5$

Сначала умножим все три части неравенства на 6:

$0,3 \cdot 6 \le \frac{3 - 2x}{6} \cdot 6 \le 0,5 \cdot 6$

$1,8 \le 3 - 2x \le 3$

Теперь вычтем 3 из всех трех частей:

$1,8 - 3 \le 3 - 2x - 3 \le 3 - 3$

$-1,2 \le -2x \le 0$

Разделим все три части на -2. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-1,2}{-2} \ge \frac{-2x}{-2} \ge \frac{0}{-2}$

$0,6 \ge x \ge 0$

Запишем неравенство в привычном порядке, от меньшего числа к большему:

$0 \le x \le 0,6$

Решением является отрезок $[0; 0,6]$.

Ответ: $[0; 0,6]$.

49. Сколько целых решений имеет неравенство:

1) $-4 \le 2x - 5 \le 6;$

2) $-2 \le 4 - 11x \le 7?$

1) Чтобы решить двойное неравенство $-4 \leq 2x - 5 \leq 6$, необходимо изолировать переменную $x$ в его центральной части. Для этого выполняются тождественные преобразования со всеми тремя частями неравенства.

Сначала прибавим 5 ко всем частям неравенства, чтобы избавиться от $-5$ в центре:

$-4 + 5 \leq 2x - 5 + 5 \leq 6 + 5$

Выполнив сложение, получаем:

$1 \leq 2x \leq 11$

Далее, разделим все три части неравенства на 2, чтобы найти $x$:

$\frac{1}{2} \leq \frac{2x}{2} \leq \frac{11}{2}$

Что равносильно:

$0.5 \leq x \leq 5.5$

Теперь нужно найти все целые числа, которые находятся в промежутке от 0.5 до 5.5, включая концы. Такими числами являются: $1, 2, 3, 4, 5$.

Подсчитаем их количество: всего 5 чисел.

Ответ: 5

2) Решим двойное неравенство $-2 \leq 4 - 11x \leq 7$. Действуем аналогично предыдущему пункту, изолируя $x$.

Сначала вычтем 4 из всех частей неравенства:

$-2 - 4 \leq 4 - 11x - 4 \leq 7 - 4$

Выполнив вычитание, получаем:

$-6 \leq -11x \leq 3$

Теперь разделим все части неравенства на -11. При делении на отрицательное число знаки неравенства необходимо поменять на противоположные:

$\frac{-6}{-11} \geq \frac{-11x}{-11} \geq \frac{3}{-11}$

После упрощения получаем:

$\frac{6}{11} \geq x \geq -\frac{3}{11}$

Для удобства запишем неравенство в стандартном виде (от меньшего числа к большему):

$-\frac{3}{11} \leq x \leq \frac{6}{11}$

Чтобы определить целые решения, можно представить дроби в виде десятичных чисел: $-\frac{3}{11} \approx -0.27$, а $\frac{6}{11} \approx 0.54$.

Таким образом, неравенство можно записать как: $-0.27 \leq x \leq 0.54$.

Единственное целое число, попадающее в этот промежуток, — это 0.

Следовательно, данное неравенство имеет только одно целое решение.

Ответ: 1

1) $-4 \le 2x - 3 \le 6,$

2) $-2 \le 4 - 11x \le 7$?

50. При каких значениях $x$ значения функции $y = x(1 - \sqrt{5})$ принадлежат промежутку $[2\sqrt{5} - 2; 4\sqrt{5} - 4]$?

По условию задачи, значения функции $y = x(1 - \sqrt{5})$ должны принадлежать промежутку $[2\sqrt{5} - 2; 4\sqrt{5} - 4]$. Это означает, что должно выполняться двойное неравенство:

$2\sqrt{5} - 2 \le y \le 4\sqrt{5} - 4$

Подставим выражение для $y$:

$2\sqrt{5} - 2 \le x(1 - \sqrt{5}) \le 4\sqrt{5} - 4$

Чтобы найти $x$, нужно разделить все части неравенства на множитель $(1 - \sqrt{5})$. Прежде чем это сделать, определим знак этого множителя. Поскольку $\sqrt{5} > \sqrt{1} = 1$, разность $1 - \sqrt{5}$ является отрицательным числом. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{2\sqrt{5} - 2}{1 - \sqrt{5}} \ge x \ge \frac{4\sqrt{5} - 4}{1 - \sqrt{5}}$

Теперь упростим дроби в левой и правой частях неравенства.

Для левой части вынесем $-2$ за скобки в числителе:

$\frac{2\sqrt{5} - 2}{1 - \sqrt{5}} = \frac{-2(1 - \sqrt{5})}{1 - \sqrt{5}} = -2$

Для правой части вынесем $-4$ за скобки в числителе:

$\frac{4\sqrt{5} - 4}{1 - \sqrt{5}} = \frac{-4(1 - \sqrt{5})}{1 - \sqrt{5}} = -4$

Подставим полученные значения обратно в неравенство:

$-2 \ge x \ge -4$

Запишем это неравенство в более привычном виде, от меньшего числа к большему:

$-4 \le x \le -2$

Таким образом, значения $x$ принадлежат отрезку от $-4$ до $-2$.

Ответ: $x \in [-4; -2]$.

51. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x < 9, \\ x > 6, \\ x < 7,4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 7x - 2 > 13; \\ 5 - 2x < 8; \\ 6x - 5 > 3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 0,3 - 5x \geq 2,8, \\ 4,5x + 1 \geq 10, \\ 2,2x - 1 < 2x - 1,3. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x < 9, \\ x > 6, \\ x < 7,4. \end{cases} $

Решением системы является пересечение множеств решений каждого из неравенств. Необходимо найти значения $x$, которые одновременно удовлетворяют всем трем условиям.

Из второго неравенства имеем $x > 6$.

Из третьего неравенства имеем $x < 7,4$.

Объединяя эти два условия, получаем двойное неравенство: $6 < x < 7,4$.

Первое неравенство, $x < 9$, также должно выполняться. Если $x < 7,4$, то он автоматически будет меньше 9, поэтому это условие не добавляет новых ограничений.

Таким образом, решением системы является интервал от 6 до 7,4, не включая концы.

Ответ: $(6; 7,4)$.

2) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 7x - 2 > 13, \\ 5 - 2x < 8, \\ 6x - 5 > 3. \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Решаем первое неравенство:

$7x - 2 > 13$

$7x > 13 + 2$

$7x > 15$

$x > \frac{15}{7}$

2. Решаем второе неравенство:

$5 - 2x < 8$

$-2x < 8 - 5$

$-2x < 3$

При делении на отрицательное число (-2) знак неравенства меняется на противоположный:

$x > -\frac{3}{2}$

3. Решаем третье неравенство:

$6x - 5 > 3$

$6x > 3 + 5$

$6x > 8$

$x > \frac{8}{6}$, что сокращается до $x > \frac{4}{3}$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x > \frac{15}{7}$, $x > -\frac{3}{2}$ и $x > \frac{4}{3}$.

Сравним числа: $\frac{15}{7} \approx 2,14$; $-\frac{3}{2} = -1,5$; $\frac{4}{3} \approx 1,33$.

Чтобы $x$ удовлетворял всем трем условиям, он должен быть больше самого большого из этих чисел, то есть больше $\frac{15}{7}$.

Следовательно, решением системы является $x > \frac{15}{7}$.

Ответ: $(\frac{15}{7}; +\infty)$.

3) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 0,3 - 5x \ge 2,8, \\ 4,5x + 1 \ge 10, \\ 2,2x - 1 < 2x - 1,3. \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Решаем первое неравенство:

$0,3 - 5x \ge 2,8$

$-5x \ge 2,8 - 0,3$

$-5x \ge 2,5$

При делении на -5 знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{2,5}{-5}$

$x \le -0,5$

2. Решаем второе неравенство:

$4,5x + 1 \ge 10$

$4,5x \ge 10 - 1$

$4,5x \ge 9$

$x \ge \frac{9}{4,5}$

$x \ge 2$

3. Решаем третье неравенство:

$2,2x - 1 < 2x - 1,3$

$2,2x - 2x < -1,3 + 1$

$0,2x < -0,3$

$x < \frac{-0,3}{0,2}$

$x < -1,5$

Мы получили три условия для $x$: $x \le -0,5$, $x \ge 2$ и $x < -1,5$.

Рассмотрим первые два условия: $x \le -0,5$ и $x \ge 2$. Не существует числа, которое одновременно было бы меньше или равно -0,5 и больше или равно 2. Это означает, что уже эта пара неравенств не имеет общего решения.

Следовательно, вся система не имеет решений, так как множество решений является пустым.

Ответ: решений нет.

52. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{3x - 10} + \sqrt{4x - 11};$

2) $\sqrt{4x + 5} - \frac{1}{\sqrt{11 - 2x}};$

3) $\sqrt{5x - 45} + \sqrt{8 - x}?$

1)

Выражение $\sqrt{3x - 10} + \sqrt{4x - 11}$ имеет смысл (определено), когда подкоренные выражения неотрицательны, то есть больше или равны нулю. Это условие приводит к системе из двух неравенств:

$\begin{cases} 3x - 10 \ge 0 \\ 4x - 11 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности:

1) $3x - 10 \ge 0$

$3x \ge 10$

$x \ge \frac{10}{3}$

2) $4x - 11 \ge 0$

$4x \ge 11$

$x \ge \frac{11}{4}$

Теперь необходимо найти пересечение решений этих двух неравенств. Сравним дроби $\frac{10}{3}$ и $\frac{11}{4}$. Приведем их к общему знаменателю 12: $\frac{10}{3} = \frac{40}{12}$ и $\frac{11}{4} = \frac{33}{12}$. Так как $\frac{40}{12} > \frac{33}{12}$, то $\frac{10}{3} > \frac{11}{4}$.

Для того чтобы переменная $x$ удовлетворяла обоим условиям ($x \ge \frac{10}{3}$ и $x \ge \frac{11}{4}$), она должна быть больше или равна большему из этих двух чисел. Следовательно, решением системы является $x \ge \frac{10}{3}$.

Ответ: $x \in [\frac{10}{3}, +\infty)$.

2)

Выражение $\sqrt{4x + 5} - \frac{1}{\sqrt{11 - 2x}}$ имеет смысл при одновременном выполнении двух условий:

1. Подкоренное выражение первого слагаемого должно быть неотрицательным: $4x + 5 \ge 0$.

2. Подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным, так как деление на ноль недопустимо, а корень из отрицательного числа не определен в области действительных чисел: $11 - 2x > 0$.

Составим и решим систему неравенств:

$\begin{cases} 4x + 5 \ge 0 \\ 11 - 2x > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$4x \ge -5$

$x \ge -\frac{5}{4}$

Решим второе неравенство:

$-2x > -11$

$x < \frac{-11}{-2}$ (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется)

$x < \frac{11}{2}$

Общим решением является пересечение этих двух условий: $-\frac{5}{4} \le x < \frac{11}{2}$.

Ответ: $x \in [-\frac{5}{4}, \frac{11}{2})$.

3)

Выражение $\sqrt{5x - 45} + \sqrt{8 - x}$ имеет смысл, когда оба подкоренных выражения неотрицательны. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 5x - 45 \ge 0 \\ 8 - x \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1) $5x - 45 \ge 0$

$5x \ge 45$

$x \ge 9$

2) $8 - x \ge 0$

$8 \ge x$

$x \le 8$

Теперь нужно найти значения $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $x \ge 9$ и $x \le 8$. Однако не существует ни одного числа, которое было бы одновременно больше или равно 9 и меньше или равно 8. Пересечение этих двух множеств пусто.

Следовательно, система неравенств не имеет решений, и выражение не имеет смысла ни при каких значениях переменной $x$.

Ответ: таких значений переменной не существует.

53. Решите неравенство:

1) $(x + 7)(x - 1) \ge 0;$

2) $(x + 2)(x + 1) < 0;$

3) $\frac{x + 4}{x - 4} < 0;$

4) $\frac{x + 9}{3x - 9} > 0;$

5) $\frac{7x - 1}{x - 10} \ge 0;$

6) $\frac{4x - 8}{x + 5} \le 0.$

1) Для решения неравенства $(x+7)(x-1) \ge 0$ используем метод интервалов.
Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x+7)(x-1) = 0$.
Корни: $x+7=0 \Rightarrow x_1 = -7$ и $x-1=0 \Rightarrow x_2 = 1$.
Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -7]$, $[-7; 1]$ и $[1; +\infty)$.
Определим знак выражения $(x+7)(x-1)$ в каждом интервале:
- При $x < -7$ (например, $x=-8$): $(-8+7)(-8-1) = (-1)(-9) = 9 > 0$. Знак «+».
- При $-7 < x < 1$ (например, $x=0$): $(0+7)(0-1) = (7)(-1) = -7 < 0$. Знак «-».
- При $x > 1$ (например, $x=2$): $(2+7)(2-1) = (9)(1) = 9 > 0$. Знак «+».
Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), мы ищем значения, где выражение больше или равно нулю. Выбираем интервалы со знаком «+», включая концы.
Ответ: $x \in (-\infty; -7] \cup [1; +\infty)$.

2) Решим неравенство $(x+2)(x+1) < 0$ методом интервалов.
Найдем корни уравнения $(x+2)(x+1) = 0$.
Корни: $x+2=0 \Rightarrow x_1 = -2$ и $x+1=0 \Rightarrow x_2 = -1$.
Точки $-2$ и $-1$ делят числовую ось на интервалы $(-\infty; -2)$, $(-2; -1)$ и $(-1; +\infty)$.
Определим знак выражения в каждом интервале:
- При $x < -2$ (например, $x=-3$): $(-3+2)(-3+1) = (-1)(-2) = 2 > 0$. Знак «+».
- При $-2 < x < -1$ (например, $x=-1.5$): $(-1.5+2)(-1.5+1) = (0.5)(-0.5) = -0.25 < 0$. Знак «-».
- При $x > -1$ (например, $x=0$): $(0+2)(0+1) = (2)(1) = 2 > 0$. Знак «+».
Неравенство строгое ($<$), поэтому ищем интервал со знаком «-», не включая концы.
Ответ: $x \in (-2; -1)$.

3) Решим дробно-рациональное неравенство $\frac{x+4}{x-4} < 0$ методом интервалов.
Найдем нуль числителя: $x+4=0 \Rightarrow x = -4$.
Найдем нуль знаменателя: $x-4=0 \Rightarrow x = 4$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 4$.
Точки $-4$ и $4$ делят числовую ось на интервалы $(-\infty; -4)$, $(-4; 4)$ и $(4; +\infty)$.
Определим знак дроби в каждом интервале:
- При $x < -4$ (например, $x=-5$): $\frac{-5+4}{-5-4} = \frac{-1}{-9} > 0$. Знак «+».
- При $-4 < x < 4$ (например, $x=0$): $\frac{0+4}{0-4} = -1 < 0$. Знак «-».
- При $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{5+4}{5-4} = 9 > 0$. Знак «+».
Неравенство строгое ($<$), поэтому ищем интервал со знаком «-». Точки $-4$ и $4$ не включаются в решение.
Ответ: $x \in (-4; 4)$.

4) Решим неравенство $\frac{x+9}{3x-9} > 0$.
Найдем нуль числителя: $x+9=0 \Rightarrow x = -9$.
Найдем нуль знаменателя: $3x-9=0 \Rightarrow 3x=9 \Rightarrow x = 3$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 3$.
Точки $-9$ и $3$ делят числовую ось на интервалы $(-\infty; -9)$, $(-9; 3)$ и $(3; +\infty)$.
Определим знак дроби в каждом интервале:
- При $x < -9$ (например, $x=-10$): $\frac{-10+9}{3(-10)-9} = \frac{-1}{-39} > 0$. Знак «+».
- При $-9 < x < 3$ (например, $x=0$): $\frac{0+9}{3(0)-9} = \frac{9}{-9} < 0$. Знак «-».
- При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{4+9}{3(4)-9} = \frac{13}{3} > 0$. Знак «+».
Неравенство строгое ($>$), ищем интервалы со знаком «+». Точки $-9$ и $3$ не включаются.
Ответ: $x \in (-\infty; -9) \cup (3; +\infty)$.

5) Решим неравенство $\frac{7x-1}{x-10} \ge 0$.
Найдем нуль числителя: $7x-1=0 \Rightarrow 7x=1 \Rightarrow x = \frac{1}{7}$.
Найдем нуль знаменателя: $x-10=0 \Rightarrow x = 10$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 10$.
Точки $\frac{1}{7}$ и $10$ делят числовую ось на интервалы $(-\infty; \frac{1}{7}]$, $[\frac{1}{7}; 10)$ и $(10; +\infty)$.
Определим знак дроби в каждом интервале:
- При $x < \frac{1}{7}$ (например, $x=0$): $\frac{7(0)-1}{0-10} = \frac{-1}{-10} > 0$. Знак «+».
- При $\frac{1}{7} < x < 10$ (например, $x=1$): $\frac{7(1)-1}{1-10} = \frac{6}{-9} < 0$. Знак «-».
- При $x > 10$ (например, $x=11$): $\frac{7(11)-1}{11-10} = \frac{76}{1} > 0$. Знак «+».
Неравенство нестрогое ($\ge$), ищем интервалы со знаком «+». Нуль числителя ($x=\frac{1}{7}$) включается, а нуль знаменателя ($x=10$) исключается.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{7}] \cup (10; +\infty)$.

6) Решим неравенство $\frac{4x-8}{x+5} \le 0$.
Найдем нуль числителя: $4x-8=0 \Rightarrow 4x=8 \Rightarrow x = 2$.
Найдем нуль знаменателя: $x+5=0 \Rightarrow x = -5$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq -5$.
Точки $-5$ и $2$ делят числовую ось на интервалы $(-\infty; -5)$, $(-5; 2]$ и $[2; +\infty)$.
Определим знак дроби в каждом интервале:
- При $x < -5$ (например, $x=-6$): $\frac{4(-6)-8}{-6+5} = \frac{-32}{-1} > 0$. Знак «+».
- При $-5 < x < 2$ (например, $x=0$): $\frac{4(0)-8}{0+5} = \frac{-8}{5} < 0$. Знак «-».
- При $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{4(3)-8}{3+5} = \frac{4}{8} > 0$. Знак «+».
Неравенство нестрогое ($\le$), ищем интервал со знаком «-». Нуль числителя ($x=2$) включается, а нуль знаменателя ($x=-5$) исключается.
Ответ: $x \in (-5; 2]$.