Страница 50 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

70. Найдите, не выполняя построения, точки пересечения с осями координат графика функции:

1) $f(x) = 3 - \frac{1}{4}x$;

2) $h(x) = \frac{2x+3}{x-3}$;

3) $g(x) = x^2 - 4x + 3$;

4) $f(x) = \frac{x^2 - 2}{x^2 + 2}$.

Для нахождения точек пересечения графика функции с осями координат необходимо:

• Для пересечения с осью ординат (Oy) подставить в функцию значение $x = 0$.
• Для пересечения с осью абсцисс (Ox) приравнять функцию к нулю ($y = 0$) и решить полученное уравнение относительно $x$.

1) $f(x) = 3 - \frac{1}{4}x$

Пересечение с осью Oy:
При $x = 0$, $y = f(0) = 3 - \frac{1}{4} \cdot 0 = 3$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 3)$.

Пересечение с осью Ox:
При $y = 0$, $3 - \frac{1}{4}x = 0$.
$\frac{1}{4}x = 3$
$x = 3 \cdot 4 = 12$.
Точка пересечения с осью Ox: $(12, 0)$.

Ответ: с осью Oy в точке $(0, 3)$; с осью Ox в точке $(12, 0)$.

2) $h(x) = \frac{2x + 3}{x - 3}$

Пересечение с осью Oy:
При $x = 0$, $y = h(0) = \frac{2 \cdot 0 + 3}{0 - 3} = \frac{3}{-3} = -1$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, -1)$.

Пересечение с осью Ox:
При $y = 0$, $\frac{2x + 3}{x - 3} = 0$.
Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$2x + 3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x = -1.5$.
Знаменатель при $x = -1.5$ не равен нулю: $-1.5 - 3 = -4.5 \neq 0$.
Точка пересечения с осью Ox: $(-1.5, 0)$.

Ответ: с осью Oy в точке $(0, -1)$; с осью Ox в точке $(-1.5, 0)$.

3) $g(x) = x^2 - 4x + 3$

Пересечение с осью Oy:
При $x = 0$, $y = g(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 3 = 3$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 3)$.

Пересечение с осью Ox:
При $y = 0$, $x^2 - 4x + 3 = 0$.
Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 4$
$x_1 \cdot x_2 = 3$
Отсюда $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.
Точки пересечения с осью Ox: $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

Ответ: с осью Oy в точке $(0, 3)$; с осью Ox в точках $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

4) $f(x) = \frac{x^2 - 2}{x^2 + 2}$

Пересечение с осью Oy:
При $x = 0$, $y = f(0) = \frac{0^2 - 2}{0^2 + 2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, -1)$.

Пересечение с осью Ox:
При $y = 0$, $\frac{x^2 - 2}{x^2 + 2} = 0$.
Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.
Знаменатель $x^2 + 2$ всегда больше нуля (т.к. $x^2 \ge 0$).
Точки пересечения с осью Ox: $(-\sqrt{2}, 0)$ и $(\sqrt{2}, 0)$.

Ответ: с осью Oy в точке $(0, -1)$; с осью Ox в точках $(-\sqrt{2}, 0)$ и $(\sqrt{2}, 0)$.

71. Постройте график функции:

1) $f(x) = \begin{cases} \frac{12}{x}, & \text{если } x \le -4 \\ \frac{3}{4}x, & \text{если } -4 < x < 4 \\ \frac{12}{x}, & \text{если } x \ge 4 \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} 3x + 2, & \text{если } x \le -2 \\ -\frac{1}{2}x - 3, & \text{если } -2 < x < 0 \\ -5, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Для построения графика кусочно-заданной функции $f(x) = \begin{cases} \frac{12}{x}, & \text{если } x \le -4, \\ \frac{3}{4}x, & \text{если } -4 < x < 4, \\ \frac{12}{x}, & \text{если } x \ge 4; \end{cases}$ необходимо построить график каждой из трех функций на соответствующем ей промежутке.

• На промежутке $x \le -4$ строим график функции $y = \frac{12}{x}$.
  Это ветвь гиперболы, расположенная в третьей координатной четверти. Для построения найдем несколько точек:
  • при $x = -4$, $y = \frac{12}{-4} = -3$. Точка $(-4, -3)$ принадлежит графику.
  • при $x = -6$, $y = \frac{12}{-6} = -2$.
  • при $x = -12$, $y = \frac{12}{-12} = -1$.
• На промежутке $-4 < x < 4$ строим график функции $y = \frac{3}{4}x$.
  Это прямая, проходящая через начало координат. Графиком на данном интервале является отрезок этой прямой. Найдем координаты его концов:
  • при $x = -4$, $y = \frac{3}{4} \cdot (-4) = -3$. Точка $(-4, -3)$ является концом отрезка, но не принадлежит этому участку графика (она будет выколотой).
  • при $x = 4$, $y = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3$. Точка $(4, 3)$ также является выколотой на этом участке.
  Таким образом, это отрезок, соединяющий точки $(-4, -3)$ и $(4, 3)$, с выколотыми концами.
• На промежутке $x \ge 4$ строим график функции $y = \frac{12}{x}$.
  Это ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти. Для построения найдем несколько точек:
  • при $x = 4$, $y = \frac{12}{4} = 3$. Точка $(4, 3)$ принадлежит графику.
  • при $x = 6$, $y = \frac{12}{6} = 2$.
  • при $x = 12$, $y = \frac{12}{12} = 1$.

Объединим все три части на одной координатной плоскости. Выколотые точки $(-4, -3)$ и $(4, 3)$ отрезка прямой "заполняются" точками, принадлежащими ветвям гиперболы. В результате график не имеет разрывов.

Ответ: График функции состоит из трех частей. При $x \le -4$ это ветвь гиперболы $y=12/x$, начинающаяся в точке $(-4, -3)$. На интервале $(-4, 4)$ это отрезок прямой $y=(3/4)x$, соединяющий точки $(-4, -3)$ и $(4, 3)$. При $x \ge 4$ это ветвь гиперболы $y=12/x$, начинающаяся в точке $(4, 3)$. График является непрерывной линией.

Для построения графика кусочно-заданной функции $f(x) = \begin{cases} 3x + 2, & \text{если } x \le -2, \\ -\frac{1}{2}x - 3, & \text{если } -2 < x < 0, \\ -5, & \text{если } x \ge 0. \end{cases}$ необходимо построить график каждой из трех функций на соответствующем ей промежутке.

• На промежутке $x \le -2$ строим график функции $y = 3x + 2$.
  Это прямая. Графиком на данном промежутке является луч. Для его построения найдем две точки:
  • при $x = -2$, $y = 3(-2) + 2 = -4$. Точка $(-2, -4)$ является началом луча и принадлежит графику.
  • для определения направления луча возьмем еще одну точку, например, $x = -3$, тогда $y = 3(-3) + 2 = -7$.
• На промежутке $-2 < x < 0$ строим график функции $y = -\frac{1}{2}x - 3$.
  Это прямая. Графиком на данном интервале является отрезок. Найдем координаты его концов:
  • при $x = -2$, $y = -\frac{1}{2}(-2) - 3 = 1 - 3 = -2$. Точка $(-2, -2)$ выколотая.
  • при $x = 0$, $y = -\frac{1}{2}(0) - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$ выколотая.
  Строим отрезок, соединяющий точки $(-2, -2)$ и $(0, -3)$, с выколотыми концами.
• На промежутке $x \ge 0$ строим график функции $y = -5$.
  Это горизонтальная прямая. Графиком на данном промежутке является луч.
  • при $x = 0$, $y = -5$. Точка $(0, -5)$ является началом луча и принадлежит графику.
  Строим горизонтальный луч, выходящий из точки $(0, -5)$ вправо, параллельно оси абсцисс.

Объединим все три части на одной координатной плоскости. В точках $x=-2$ и $x=0$ функция имеет разрывы (скачки).

Ответ: График функции состоит из трех частей. При $x \le -2$ это луч $y=3x+2$ с началом в точке $(-2, -4)$. На интервале $(-2, 0)$ это отрезок $y = -1/2x - 3$ с выколотыми концами в точках $(-2, -2)$ и $(0, -3)$. При $x \ge 0$ это горизонтальный луч $y=-5$ с началом в точке $(0, -5)$.

72. Найдите область определения и постройте график функции:

1) $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$;

2) $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{2 - x}$;

3) $f(x) = \frac{3x - 9}{x^2 - 3x}$;

4) $f(x) = \frac{|x| - 1}{|x| - 1}$.