Страница 55 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

93. Построив в одной системе координат графики функций $y = \frac{12}{x}$ и $y = -x^2 - x + 6$, определите количество корней уравнения $-x^2 - x + 6 = \frac{12}{x}$.

Количество корней уравнения $-x^2 - x + 6 = \frac{12}{x}$ равно количеству точек пересечения графиков функций $y = -x^2 - x + 6$ и $y = \frac{12}{x}$. Для решения задачи построим эти графики в одной системе координат.

1. Построение графика функции $y = \frac{12}{x}$

Графиком этой функции является гипербола. Так как коэффициент $12 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Область определения функции: $x \neq 0$.

Составим таблицу значений для построения графика:

При $x = 2, y = 6$;
При $x = 3, y = 4$;
При $x = 4, y = 3$;
При $x = 6, y = 2$;
При $x = -2, y = -6$;
При $x = -3, y = -4$;
При $x = -4, y = -3$;
При $x = -6, y = -2$.

2. Построение графика функции $y = -x^2 - x + 6$

Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательный), ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2(-1)} = -0.5$

$y_0 = -(-0.5)^2 - (-0.5) + 6 = -0.25 + 0.5 + 6 = 6.25$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-0.5; 6.25)$.

Найдем точки пересечения параболы с осями координат:

• С осью OY (при $x=0$): $y = -0^2 - 0 + 6 = 6$. Точка пересечения: $(0; 6)$.
• С осью OX (при $y=0$): $-x^2 - x + 6 = 0$. Умножим на -1: $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$. Точки пересечения: $(2; 0)$ и $(-3; 0)$.

3. Определение количества корней уравнения

Построим графики функций $y = \frac{12}{x}$ и $y = -x^2 - x + 6$ в одной системе координат, используя найденные точки.

При построении видно, что графики пересекаются только в одной точке. Эта точка расположена в III координатной четверти, ее абсцисса (x-координата) находится в интервале между -4 и -3.

Поскольку количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графиков, данное уравнение имеет один корень.

Ответ: 1.

94. Найдите координаты точки параболы $y = x^2 + 3x - 8$, у которой:

1) абсцисса и ордината равны;

2) сумма абсциссы и ординаты равна 4.

Дана парабола, заданная уравнением $y = x^2 + 3x - 8$.

1) абсцисса и ордината равны

Пусть координаты искомой точки будут $(x, y)$. Условие, что абсцисса и ордината равны, означает, что $y = x$.
Чтобы найти координаты точки, которая принадлежит параболе и удовлетворяет этому условию, нужно решить систему уравнений:$$\begin{cases}y = x^2 + 3x - 8 \\y = x\end{cases}$$Приравняем правые части уравнений:$$x = x^2 + 3x - 8$$Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:$$x^2 + 3x - x - 8 = 0$$$$x^2 + 2x - 8 = 0$$Решим это уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.$$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2$$Найдем корни уравнения:$$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = -4$$$$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = 2$$Так как по условию $y = x$, найдем соответствующие ординаты:
При $x_1 = -4$, $y_1 = -4$. Координаты первой точки: $(-4, -4)$.
При $x_2 = 2$, $y_2 = 2$. Координаты второй точки: $(2, 2)$.
Ответ: $(-4, -4)$ и $(2, 2)$.

2) сумма абсциссы и ординаты равна 4

Пусть координаты искомой точки будут $(x, y)$. Условие, что сумма абсциссы и ординаты равна 4, означает, что $x + y = 4$.
Выразим $y$ из этого условия: $y = 4 - x$.
Теперь решим систему уравнений:$$\begin{cases}y = x^2 + 3x - 8 \\y = 4 - x\end{cases}$$Приравняем правые части уравнений:$$4 - x = x^2 + 3x - 8$$Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:$$x^2 + 3x + x - 8 - 4 = 0$$$$x^2 + 4x - 12 = 0$$Решим это уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.$$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 = 8^2$$Найдем корни уравнения:$$x_1 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 8}{2} = -6$$$$x_2 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 8}{2} = 2$$Теперь найдем соответствующие ординаты, используя формулу $y = 4 - x$:
При $x_1 = -6$, $y_1 = 4 - (-6) = 4 + 6 = 10$. Координаты первой точки: $(-6, 10)$.
При $x_2 = 2$, $y_2 = 4 - 2 = 2$. Координаты второй точки: $(2, 2)$.
Ответ: $(-6, 10)$ и $(2, 2)$.

95. Найдите область значений и промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = 2x^2 - 8x + 1$;

2) $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + x - 2$;

3) $f(x) = 17 - 16x - 0,2x^2$;

4) $f(x) = 5x^2 + 8x$.

1) $f(x) = 2x^2 - 8x + 1$
Данная функция является квадратичной ($f(x) = ax^2 + bx + c$), её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх, а вершина параболы является точкой минимума функции.
Для нахождения области значений и промежутков монотонности найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.
Абсцисса вершины находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:
$x_v = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.
Ордината вершины находится подстановкой $x_v$ в функцию $y_v = f(x_v)$:
$y_v = f(2) = 2 \cdot 2^2 - 8 \cdot 2 + 1 = 8 - 16 + 1 = -7$.
Вершина параболы находится в точке $(2, -7)$.
Область значений: поскольку ветви параболы направлены вверх, минимальное значение функции равно ординате вершины $y_v = -7$. Таким образом, область значений функции — это промежуток от $-7$ (включительно) до $+\infty$.
$E(f) = [-7, +\infty)$.
Промежутки возрастания и убывания: функция убывает на промежутке слева от вершины (от $-\infty$ до $x_v$) и возрастает на промежутке справа от вершины (от $x_v$ до $+\infty$).
Промежуток убывания: $(-\infty, 2]$.
Промежуток возрастания: $[2, +\infty)$.
Ответ: область значений $E(f) = [-7, +\infty)$; функция возрастает на промежутке $[2, +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty, 2]$.

2) $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + x - 2$
Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент $a = -\frac{1}{3} < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз, а вершина является точкой максимума.
Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-\frac{1}{3})} = -\frac{1}{-\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} = 1.5$.
$y_v = f(\frac{3}{2}) = -\frac{1}{3}(\frac{3}{2})^2 + \frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{4} + \frac{3}{2} - 2 = -\frac{3}{4} + \frac{6}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{5}{4} = -1.25$.
Вершина параболы находится в точке $(\frac{3}{2}, -\frac{5}{4})$.
Область значений: так как ветви параболы направлены вниз, максимальное значение функции равно $y_v = -\frac{5}{4}$. Область значений — промежуток от $-\infty$ до $-\frac{5}{4}$ (включительно).
$E(f) = (-\infty, -\frac{5}{4}]$.
Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает слева от вершины и убывает справа от нее.
Промежуток возрастания: $(-\infty, \frac{3}{2}]$.
Промежуток убывания: $[\frac{3}{2}, +\infty)$.
Ответ: область значений $E(f) = (-\infty, -\frac{5}{4}]$; функция возрастает на промежутке $(-\infty, \frac{3}{2}]$ и убывает на промежутке $[\frac{3}{2}, +\infty)$.

3) $f(x) = 17 - 16x - 0.2x^2$
Запишем функцию в стандартном виде: $f(x) = -0.2x^2 - 16x + 17$. Это квадратичная функция. Коэффициент $a = -0.2 < 0$, ветви параболы направлены вниз, вершина является точкой максимума.
Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-16}{2 \cdot (-0.2)} = \frac{16}{-0.4} = -40$.
$y_v = f(-40) = -0.2(-40)^2 - 16(-40) + 17 = -0.2 \cdot 1600 + 640 + 17 = -320 + 640 + 17 = 337$.
Вершина параболы находится в точке $(-40, 337)$.
Область значений: так как вершина является точкой максимума, область значений функции — от $-\infty$ до $y_v=337$ включительно.
$E(f) = (-\infty, 337]$.
Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает слева от вершины и убывает справа.
Промежуток возрастания: $(-\infty, -40]$.
Промежуток убывания: $[-40, +\infty)$.
Ответ: область значений $E(f) = (-\infty, 337]$; функция возрастает на промежутке $(-\infty, -40]$ и убывает на промежутке $[-40, +\infty)$.

4) $f(x) = 5x^2 + 8x$
Это квадратичная функция. Коэффициент $a = 5 > 0$, ветви параболы направлены вверх, вершина является точкой минимума.
Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 5} = -\frac{8}{10} = -0.8$.
$y_v = f(-0.8) = 5(-0.8)^2 + 8(-0.8) = 5(0.64) - 6.4 = 3.2 - 6.4 = -3.2$.
Вершина параболы находится в точке $(-0.8, -3.2)$.
Область значений: так как вершина является точкой минимума, область значений — от $y_v = -3.2$ включительно до $+\infty$.
$E(f) = [-3.2, +\infty)$.
Промежутки возрастания и убывания: функция убывает слева от вершины и возрастает справа.
Промежуток убывания: $(-\infty, -0.8]$.
Промежуток возрастания: $[-0.8, +\infty)$.
Ответ: область значений $E(f) = [-3.2, +\infty)$; функция возрастает на промежутке $[-0.8, +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty, -0.8]$.

96. Постройте график функции:

1) $f(x) = \begin{cases} -3x - 5, & \text{если } x \le 1, \\ x^2 - 4x - 5, & \text{если } 1 < x < 4, \\ -5, & \text{если } x \ge 4; \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & \text{если } x \le -1, \\ x - x^2, & \text{если } -1 < x \le 2, \\ 1, & \text{если } x > 2. \end{cases}$

Для построения графика кусочно-заданной функции $f(x) = \begin{cases} -3x - 5, & \text{если } x \le 1 \\ x^2 - 4x - 5, & \text{если } 1 < x < 4 \\ -5, & \text{если } x \ge 4 \end{cases}$ рассмотрим каждый ее участок.

1. При $x \le 1$ функция задана формулой $y = -3x - 5$. Это линейная функция, ее график — луч. Найдем координаты двух точек этого луча. Граничная точка: при $x = 1$, $y = -3(1) - 5 = -8$. Точка $(1, -8)$ принадлежит графику (закрашенная точка). В качестве второй точки возьмем $x = 0$, тогда $y = -3(0) - 5 = -5$. Точка $(0, -5)$. Таким образом, строим луч, проходящий через точки $(0, -5)$ и $(1, -8)$.

2. При $1 < x < 4$ функция задана формулой $y = x^2 - 4x - 5$. Это квадратичная функция, ее график — часть параболы с ветвями вверх. Координаты вершины параболы: $x_в = -b/(2a) = -(-4)/(2 \cdot 1) = 2$; $y_в = 2^2 - 4(2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$. Вершина $(2, -9)$ находится в рассматриваемом интервале. Найдем значения на границах интервала: при $x \to 1^+$, $y \to 1^2 - 4(1) - 5 = -8$; при $x \to 4^-$, $y \to 4^2 - 4(4) - 5 = -5$. Итак, строим дугу параболы с вершиной в $(2, -9)$, концы которой — "выколотые" точки $(1, -8)$ и $(4, -5)$.

3. При $x \ge 4$ функция задана формулой $y = -5$. Это постоянная функция, ее график — горизонтальный луч, выходящий из точки $(4, -5)$ и идущий вправо. Точка $(4, -5)$ принадлежит графику (закрашенная точка).

Объединяя все три части, заметим, что в точке $x=1$ "выколотая" точка $(1, -8)$ второй части "закрашивается" конечной точкой первой части, а в точке $x=4$ "выколотая" точка $(4, -5)$ второй части "закрашивается" начальной точкой третьей части. Таким образом, функция непрерывна на всей числовой оси.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную линию, состоящую из трех частей: луча $y = -3x - 5$ на интервале $(-\infty, 1]$; участка параболы $y = x^2 - 4x - 5$ с вершиной в $(2, -9)$ на интервале $(1, 4)$; и горизонтального луча $y = -5$ на интервале $[4, +\infty)$.

Для построения графика функции $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & \text{если } x \le -1 \\ x - x^2, & \text{если } -1 < x \le 2 \\ 1, & \text{если } x > 2 \end{cases}$ рассмотрим каждый участок отдельно.

1. При $x \le -1$ функция задана формулой $y = 2x + 1$. Это линейная функция, ее график — луч. Найдем координаты двух точек. Граничная точка: при $x = -1$, $y = 2(-1) + 1 = -1$. Точка $(-1, -1)$ принадлежит графику (закрашенная точка). Вторая точка: при $x = -2$, $y = 2(-2) + 1 = -3$. Точка $(-2, -3)$. Строим луч, проходящий через точки $(-2, -3)$ и $(-1, -1)$.

2. При $-1 < x \le 2$ функция задана формулой $y = x - x^2$. Это квадратичная функция ($y = -x^2+x$), ее график — часть параболы с ветвями вниз. Координаты вершины: $x_в = -b/(2a) = -1/(2 \cdot (-1)) = 0.5$; $y_в = 0.5 - (0.5)^2 = 0.25$. Вершина $(0.5, 0.25)$ находится в рассматриваемом интервале. Найдем значения на границах интервала. При $x \to -1^+$, $y \to -1 - (-1)^2 = -2$. Точка $(-1, -2)$ "выколотая". При $x = 2$, $y = 2 - 2^2 = -2$. Точка $(2, -2)$ принадлежит графику (закрашенная точка). Парабола пересекает ось Ох в точках, где $x - x^2 = 0$, т.е. $x=0$ и $x=1$. Строим дугу параболы с вершиной в $(0.5, 0.25)$, проходящую через точки $(0, 0)$, $(1, 0)$, $(2, -2)$ и начинающуюся в "выколотой" точке $(-1, -2)$.

3. При $x > 2$ функция задана формулой $y = 1$. Это постоянная функция, ее график — горизонтальный луч, выходящий из "выколотой" точки $(2, 1)$ и идущий вправо.

Объединяя все три части, видим, что функция имеет разрывы. В точке $x=-1$ значение функции равно $f(-1)=-1$ (из первой части), а предел справа равен $-2$. В точке $x=2$ значение функции равно $f(2)=-2$ (из второй части), а предел справа равен $1$. Это разрывы первого рода (скачки).

Ответ: График функции состоит из трех несвязанных частей. На интервале $(-\infty, -1]$ — это луч, заканчивающийся в закрашенной точке $(-1, -1)$. На интервале $(-1, 2]$ — это дуга параболы с ветвями вниз и вершиной в $(0.5, 0.25)$, которая начинается в "выколотой" точке $(-1, -2)$ и заканчивается в закрашенной точке $(2, -2)$. На интервале $(2, +\infty)$ — это горизонтальный луч $y=1$, начинающийся в "выколотой" точке $(2, 1)$.

97. Постройте график функции $y = x^2 - 2x + 3$, определённой на промежутке $[0; 3]$. Пользуясь построенным графиком, найдите область значений данной функции.

Построение графика функции

Функция $y = x^2 - 2x + 3$ является квадратичной, её график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), ветви параболы направлены вверх. Функция рассматривается на отрезке $[0; 3]$.
Для построения графика найдем координаты вершины параболы и значения функции на концах заданного отрезка.
1. Координаты вершины параболы $(x_v; y_v)$:
Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
Значение $x_v = 1$ принадлежит отрезку $[0; 3]$.
Ордината вершины: $y_v = (1)^2 - 2(1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1; 2)$.
2. Значения функции на концах отрезка:
При $x = 0$: $y(0) = 0^2 - 2(0) + 3 = 3$. Точка $(0; 3)$.
При $x = 3$: $y(3) = 3^2 - 2(3) + 3 = 9 - 6 + 3 = 6$. Точка $(3; 6)$.
Для построения графика на координатной плоскости нужно отметить точки $(0; 3)$, $(1; 2)$ и $(3; 6)$ и соединить их плавной кривой, являющейся частью параболы.
Ответ: Графиком функции на отрезке $[0; 3]$ является часть параболы, ограниченная точками $(0; 3)$ и $(3; 6)$, с вершиной (точкой минимума) в точке $(1; 2)$.

Нахождение области значений данной функции

Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает переменная $y$ на заданном промежутке. Пользуясь построенным графиком, определим наименьшее и наибольшее значения функции.
Поскольку ветви параболы направлены вверх и её вершина с абсциссой $x_v=1$ находится внутри отрезка $[0; 3]$, наименьшее значение функция принимает в вершине.
$y_{min} = y_v = 2$.
Наибольшее значение на отрезке функция принимает на одном из его концов. Сравним значения $y(0)$ и $y(3)$:
$y(0) = 3$
$y(3) = 6$
Следовательно, наибольшее значение $y_{max} = 6$.
Таким образом, область значений функции — это отрезок от наименьшего значения до наибольшего.
Ответ: $[2; 6]$.

98. Найдите наибольшее значение функции $y = -2x^2 + 12x + 3$ на промежутке:

1) [0; 2];

2) [2,5; 4];

3) [5; 12].

Для нахождения наибольшего значения функции $y = -2x^2 + 12x + 3$ на заданных промежутках, сначала определим общие свойства этой функции.

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-2$, он отрицательный, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что в своей вершине функция достигает максимального значения.

Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_в = -b / (2a)$.

В нашем случае $a = -2$, $b = 12$.

$x_в = -12 / (2 \cdot (-2)) = -12 / (-4) = 3$.

Наибольшее значение функции на всей числовой прямой достигается в точке $x = 3$. Найдем это значение, подставив $x_в$ в уравнение функции:

$y_в = y(3) = -2(3)^2 + 12(3) + 3 = -2 \cdot 9 + 36 + 3 = -18 + 36 + 3 = 21$.

Теперь рассмотрим каждый промежуток отдельно. Наибольшее значение на отрезке достигается либо в вершине параболы, если она принадлежит этому отрезку, либо на одном из его концов.

1) [0; 2]

Абсцисса вершины $x_в = 3$ не принадлежит промежутку $[0; 2]$. Поскольку $x_в = 3 > 2$, на всем отрезке $[0; 2]$ функция монотонно возрастает (так как отрезок находится левее вершины). Следовательно, наибольшее значение будет достигаться на правом конце отрезка, в точке $x=2$.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

$y(0) = -2(0)^2 + 12(0) + 3 = 3$

$y(2) = -2(2)^2 + 12(2) + 3 = -2 \cdot 4 + 24 + 3 = -8 + 24 + 3 = 19$

Наибольшее значение функции на промежутке $[0; 2]$ равно 19.

Ответ: 19

2) [2,5; 4]

Абсцисса вершины $x_в = 3$ принадлежит промежутку $[2,5; 4]$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, именно в этой точке функция достигает своего наибольшего значения.

Наибольшее значение функции на данном промежутке равно значению в вершине:

$y_{наиб} = y(3) = 21$.

Для проверки можно вычислить значения на концах отрезка:

$y(2,5) = -2(2,5)^2 + 12(2,5) + 3 = -2 \cdot 6,25 + 30 + 3 = -12,5 + 33 = 20,5$

$y(4) = -2(4)^2 + 12(4) + 3 = -2 \cdot 16 + 48 + 3 = -32 + 51 = 19$

Сравнивая значения, видим, что $21$ является наибольшим.

Ответ: 21

3) [5; 12]

Абсцисса вершины $x_в = 3$ не принадлежит промежутку $[5; 12]$. Поскольку $x_в = 3 < 5$, на всем отрезке $[5; 12]$ функция монотонно убывает (так как отрезок находится правее вершины). Следовательно, наибольшее значение будет достигаться на левом конце отрезка, в точке $x=5$.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

$y(5) = -2(5)^2 + 12(5) + 3 = -2 \cdot 25 + 60 + 3 = -50 + 63 = 13$

$y(12) = -2(12)^2 + 12(12) + 3 = -2 \cdot 144 + 144 + 3 = -288 + 147 = -141$

Наибольшее значение функции на промежутке $[5; 12]$ равно 13.

Ответ: 13

99. При каких значениях $p$ и $q$ график функции $y = x^2 + px + q$ проходит через точки $A(1; -1)$ и $B(3; -2)$?

Поскольку график функции $y = x^2 + px + q$ проходит через точки $A(1; -1)$ и $B(3; -2)$, координаты этих точек должны удовлетворять уравнению функции. Это позволяет нам составить систему уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов $p$ и $q$.

Подставим координаты точки $A(1; -1)$ в уравнение функции $y = x^2 + px + q$:
$-1 = (1)^2 + p \cdot 1 + q$
$-1 = 1 + p + q$
$p + q = -1 - 1$
$p + q = -2$

Теперь подставим координаты точки $B(3; -2)$ в то же уравнение:
$-2 = (3)^2 + p \cdot 3 + q$
$-2 = 9 + 3p + q$
$3p + q = -2 - 9$
$3p + q = -11$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными $p$ и $q$:
$\begin{cases} p + q = -2 \\ 3p + q = -11 \end{cases}$

Для решения системы удобно использовать метод вычитания. Вычтем первое уравнение из второго:
$(3p + q) - (p + q) = -11 - (-2)$
$3p + q - p - q = -11 + 2$
$2p = -9$
$p = -\frac{9}{2} = -4,5$

Теперь, зная значение $p$, подставим его в первое уравнение системы ($p + q = -2$), чтобы найти $q$:
$-4,5 + q = -2$
$q = -2 + 4,5$
$q = 2,5$

Таким образом, искомые значения коэффициентов равны $p = -4,5$ и $q = 2,5$.

Ответ: $p = -4,5$, $q = 2,5$.

100. При каких значениях $a$ и $b$ парабола $y=ax^2+bx-1$ проходит через точки $M(-1; 3)$ и $N(2; 4)$?

Чтобы парабола $y = ax^2 + bx - 1$ проходила через точки $M(-1; 3)$ и $N(2; 4)$, координаты этих точек должны удовлетворять уравнению параболы. Это позволяет нам составить систему уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов $a$ и $b$.

1. Подставим координаты точки $M(-1; 3)$ (где $x = -1$, $y = 3$) в уравнение параболы:
$3 = a(-1)^2 + b(-1) - 1$
$3 = a \cdot 1 - b - 1$
$3 = a - b - 1$
Перенесем свободный член в левую часть, чтобы получить первое уравнение:
$a - b = 4$

2. Подставим координаты точки $N(2; 4)$ (где $x = 2$, $y = 4$) в уравнение параболы:
$4 = a(2)^2 + b(2) - 1$
$4 = a \cdot 4 + 2b - 1$
$4 = 4a + 2b - 1$
Перенесем свободный член в левую часть, чтобы получить второе уравнение:
$4a + 2b = 5$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$ \begin{cases} a - b = 4 \\ 4a + 2b = 5 \end{cases} $
Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $a$:
$a = 4 + b$

Подставим полученное выражение для $a$ во второе уравнение системы:
$4(4 + b) + 2b = 5$
$16 + 4b + 2b = 5$
$16 + 6b = 5$
$6b = 5 - 16$
$6b = -11$
$b = -\frac{11}{6}$

Теперь найдем $a$, подставив значение $b$ в выражение $a = 4 + b$:
$a = 4 + (-\frac{11}{6})$
$a = \frac{24}{6} - \frac{11}{6}$
$a = \frac{13}{6}$

Ответ: $a = \frac{13}{6}$, $b = -\frac{11}{6}$.