Номер 97, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

97. Постройте график функции $y = x^2 - 2x + 3$, определённой на промежутке $[0; 3]$. Пользуясь построенным графиком, найдите область значений данной функции.

Построение графика функции

Функция $y = x^2 - 2x + 3$ является квадратичной, её график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), ветви параболы направлены вверх. Функция рассматривается на отрезке $[0; 3]$.
Для построения графика найдем координаты вершины параболы и значения функции на концах заданного отрезка.
1. Координаты вершины параболы $(x_v; y_v)$:
Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
Значение $x_v = 1$ принадлежит отрезку $[0; 3]$.
Ордината вершины: $y_v = (1)^2 - 2(1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1; 2)$.
2. Значения функции на концах отрезка:
При $x = 0$: $y(0) = 0^2 - 2(0) + 3 = 3$. Точка $(0; 3)$.
При $x = 3$: $y(3) = 3^2 - 2(3) + 3 = 9 - 6 + 3 = 6$. Точка $(3; 6)$.
Для построения графика на координатной плоскости нужно отметить точки $(0; 3)$, $(1; 2)$ и $(3; 6)$ и соединить их плавной кривой, являющейся частью параболы.
Ответ: Графиком функции на отрезке $[0; 3]$ является часть параболы, ограниченная точками $(0; 3)$ и $(3; 6)$, с вершиной (точкой минимума) в точке $(1; 2)$.

Нахождение области значений данной функции

Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает переменная $y$ на заданном промежутке. Пользуясь построенным графиком, определим наименьшее и наибольшее значения функции.
Поскольку ветви параболы направлены вверх и её вершина с абсциссой $x_v=1$ находится внутри отрезка $[0; 3]$, наименьшее значение функция принимает в вершине.
$y_{min} = y_v = 2$.
Наибольшее значение на отрезке функция принимает на одном из его концов. Сравним значения $y(0)$ и $y(3)$:
$y(0) = 3$
$y(3) = 6$
Следовательно, наибольшее значение $y_{max} = 6$.
Таким образом, область значений функции — это отрезок от наименьшего значения до наибольшего.
Ответ: $[2; 6]$.