Номер 103, страница 56 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

103. Пусть $D$ — дискриминант квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$. Изобразите схематически график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, если:

1) $a < 0$, $D > 0$, $c > 0$, $-\frac{b}{2a} > 0;$

2) $a > 0$, $D = 0$, $-\frac{b}{2a} > 0;$

3) $a < 0$, $D < 0$, $-\frac{b}{2a} < 0.$

Для построения схематического графика квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ проанализируем, как заданные условия влияют на его ключевые характеристики: направление ветвей, положение вершины и точки пересечения с осями координат.

1) $a < 0, D > 0, c > 0, -\frac{b}{2a} > 0$

Проанализируем свойства параболы на основе заданных условий:
• Условие $a < 0$ означает, что ветви параболы направлены вниз.
• Условие $D > 0$ (дискриминант $D = b^2 - 4ac$) означает, что уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных действительных корня. Следовательно, парабола пересекает ось абсцисс (Ox) в двух точках.
• Условие $c > 0$ означает, что парабола пересекает ось ординат (Oy) в точке $(0, c)$, которая лежит выше оси Ox.
• Условие $x_0 = -\frac{b}{2a} > 0$ означает, что абсцисса вершины параболы положительна, то есть вершина находится правее оси Oy.
• Ордината вершины $y_0 = -\frac{D}{4a}$. Так как $D>0$ и $a<0$, то знаменатель $4a$ отрицателен, а числитель $-D$ также отрицателен. В результате $y_0 = \frac{-D}{4a} > 0$. Следовательно, вершина параболы $(x_0, y_0)$ находится в I координатной четверти.

Ответ: Схематический график — это парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы расположена в первой координатной четверти. График пересекает ось Oy в положительной точке и пересекает ось Ox в двух различных точках.

2) $a > 0, D = 0, -\frac{b}{2a} > 0$

Проанализируем свойства параболы:
• Условие $a > 0$ означает, что ветви параболы направлены вверх.
• Условие $D = 0$ означает, что уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет один действительный корень. Это значит, что парабола касается оси абсцисс (Ox) в одной точке, которая и является её вершиной.
• Условие $x_0 = -\frac{b}{2a} > 0$ означает, что абсцисса вершины (и точка касания) положительна. Таким образом, вершина параболы лежит на положительной полуоси Ox.
• Ордината вершины $y_0 = -\frac{D}{4a} = -\frac{0}{4a} = 0$.
• Точка пересечения с осью Oy — это $(0, c)$. Из условия $D = b^2 - 4ac = 0$ следует, что $b^2 = 4ac$. Поскольку $a > 0$ и $b^2 \ge 0$, то $c \ge 0$. Если предположить, что $c=0$, то и $b=0$, что привело бы к $x_0 = 0$, а это противоречит условию. Следовательно, $c>0$, и парабола пересекает ось Oy в положительной точке.

Ответ: Схематический график — это парабола с ветвями, направленными вверх. Её вершина лежит на положительной части оси Ox, то есть парабола касается оси Ox в точке с положительной абсциссой.

3) $a < 0, D < 0, -\frac{b}{2a} < 0$

Проанализируем свойства параболы:
• Условие $a < 0$ означает, что ветви параболы направлены вниз.
• Условие $D < 0$ означает, что уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней. Следовательно, парабола не пересекает ось абсцисс (Ox). Так как ветви направлены вниз, вся парабола расположена под осью Ox.
• Условие $x_0 = -\frac{b}{2a} < 0$ означает, что абсцисса вершины параболы отрицательна, то есть вершина находится левее оси Oy.
• Ордината вершины $y_0 = -\frac{D}{4a}$. Так как $D<0$ и $a<0$, то числитель $-D$ положителен, а знаменатель $4a$ отрицателен. Значит, $y_0 < 0$. Следовательно, вершина параболы $(x_0, y_0)$ находится в III координатной четверти.
• Точка пересечения с осью Oy — $(0, c)$. Так как вся парабола лежит ниже оси Ox, то $y(0) = c < 0$.

Ответ: Схематический график — это парабола с ветвями, направленными вниз. Вся парабола полностью расположена ниже оси Ox, а её вершина находится в третьей координатной четверти.