Номер 106, страница 56 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

106. При каких значениях $a$ функция $y = (a+1)x^2 - 2x + 3$ принимает положительные значения при всех действительных значениях $x$?

Для того чтобы функция $y = (a + 1)x^2 - 2x + 3$ принимала положительные значения при всех действительных значениях $x$, необходимо, чтобы неравенство $(a + 1)x^2 - 2x + 3 > 0$ выполнялось для любого действительного $x$.

Рассмотрим два возможных случая для коэффициента при $x^2$.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

Это происходит при $a + 1 = 0$, то есть $a = -1$.
В этом случае функция становится линейной: $y = -2x + 3$.
Значения этой функции не всегда положительны. Например, при $x=2$ значение функции $y = -2(2) + 3 = -1$, что меньше нуля. Следовательно, $a = -1$ не удовлетворяет условию задачи.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю.

Это происходит при $a + 1 \neq 0$. В этом случае функция является квадратичной, и ее график — парабола.
Чтобы значения функции были положительны при всех $x$, график параболы должен полностью находиться выше оси абсцисс. Для этого должны выполняться два условия:
1. Ветви параболы должны быть направлены вверх. Это означает, что коэффициент при $x^2$ должен быть положительным: $a + 1 > 0$.
2. Парабола не должна пересекать ось абсцисс. Это означает, что квадратное уравнение $(a + 1)x^2 - 2x + 3 = 0$ не должно иметь действительных корней, то есть его дискриминант $D$ должен быть отрицательным.

Составим и решим систему неравенств, исходя из этих условий:

$\begin{cases} a + 1 > 0 \\ D < 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:
$a + 1 > 0 \implies a > -1$.

Теперь найдем дискриминант и решим второе неравенство. Для квадратного трехчлена $(a + 1)x^2 - 2x + 3$ дискриминант равен:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot (a + 1) \cdot 3 = 4 - 12(a + 1) = 4 - 12a - 12 = -12a - 8$.
Решим неравенство $D < 0$:
$-12a - 8 < 0$
$-12a < 8$
Разделим обе части на -12, изменив знак неравенства на противоположный:
$a > \frac{8}{-12}$
$a > -\frac{2}{3}$.

Теперь необходимо найти общее решение для системы неравенств:
$\begin{cases} a > -1 \\ a > -\frac{2}{3} \end{cases}$
Поскольку $-\frac{2}{3} > -1$, пересечением этих двух условий является $a > -\frac{2}{3}$.

Таким образом, функция принимает положительные значения при всех действительных $x$, если $a > -\frac{2}{3}$.

Ответ: $a \in (-\frac{2}{3}; +\infty)$.