Номер 107, страница 56 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

107. При каких значениях $a$ функция $y = (a - 2)x^2 + 2x - 7$ принимает неположительные значения при всех действительных значениях $x$?

Для того чтобы функция $y = (a - 2)x^2 + 2x - 7$ принимала неположительные значения при всех действительных значениях $x$, необходимо, чтобы неравенство $(a - 2)x^2 + 2x - 7 \le 0$ выполнялось для любого $x \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим два возможных случая.

1. Случай, когда выражение является линейной функцией.
Это происходит, если коэффициент при $x^2$ равен нулю:
$a - 2 = 0 \implies a = 2$.
При $a = 2$ функция принимает вид $y = 2x - 7$. Это линейная функция, область значений которой — все действительные числа $(-\infty; +\infty)$. Следовательно, она принимает как отрицательные, так и положительные значения, и условие $y \le 0$ не выполняется для всех $x$. Таким образом, $a = 2$ не является решением.

2. Случай, когда выражение является квадратичной функцией.
Это происходит, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю: $a - 2 \neq 0$.
Графиком квадратичной функции является парабола. Чтобы парабола целиком лежала не выше оси абсцисс (т.е. $y \le 0$ для всех $x$), необходимо одновременное выполнение двух условий:

a) Ветви параболы должны быть направлены вниз. Это означает, что старший коэффициент должен быть отрицательным:
$a - 2 < 0 \implies a < 2$.

б) Парабола не должна пересекать ось абсцисс более одного раза (может касаться её или не иметь с ней общих точек). Это означает, что дискриминант $D$ соответствующего квадратного уравнения должен быть неположительным:
$D \le 0$.
Найдем дискриминант для уравнения $(a - 2)x^2 + 2x - 7 = 0$:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot (a - 2) \cdot (-7) = 4 + 28(a - 2) = 4 + 28a - 56 = 28a - 52$.
Теперь решим неравенство $D \le 0$:
$28a - 52 \le 0$
$28a \le 52$
$a \le \frac{52}{28}$
$a \le \frac{13}{7}$

Для выполнения условия задачи в этом случае необходимо, чтобы оба условия (а и б) выполнялись одновременно. Составим систему неравенств:
$\begin{cases} a < 2 \\ a \le \frac{13}{7} \end{cases}$
Поскольку $\frac{13}{7} = 1\frac{6}{7}$, что меньше 2, решением системы является $a \le \frac{13}{7}$.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что функция принимает неположительные значения при всех действительных $x$, если $a \le \frac{13}{7}$.
Ответ: $a \in (-\infty; \frac{13}{7}]$.