Номер 114, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

114. Решите неравенство:

1) $x^2 \le 16$;

2) $x^2 > 5$;

3) $9x^2 \le 5x$;

4) $-4x^2 \ge -12x$;

5) $-7x^2 < -28$;

6) $0,4x^2 < -10x$.

1) $x^2 \le 16$

Перенесем 16 в левую часть неравенства, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:
$x^2 - 16 \le 0$
Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(x - 4)(x + 4) \le 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 4)(x + 4) = 0$. Корнями являются $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.
Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -4]$, $[-4; 4]$ и $[4; \infty)$.
Чтобы определить знак выражения $(x - 4)(x + 4)$ на каждом интервале, можно рассмотреть график параболы $y = x^2 - 16$. Ветви этой параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Это означает, что значения функции отрицательны между корнями и положительны вне этого интервала.
Нам нужно найти, где выражение меньше или равно нулю. Это происходит на отрезке между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решение неравенства: $-4 \le x \le 4$.
Ответ: $[-4; 4]$

2) $x^2 > 5$

Перенесем 5 в левую часть неравенства:
$x^2 - 5 > 0$
Разложим левую часть на множители:
$(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) > 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) = 0$. Корнями являются $x_1 = \sqrt{5}$ и $x_2 = -\sqrt{5}$.
Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -\sqrt{5})$, $(-\sqrt{5}; \sqrt{5})$ и $(\sqrt{5}; \infty)$.
График функции $y = x^2 - 5$ — это парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны (больше нуля) вне интервала между корнями.
Нам нужно найти, где выражение строго больше нуля. Это происходит на интервалах левее меньшего корня и правее большего корня.
Следовательно, решение неравенства: $x < -\sqrt{5}$ или $x > \sqrt{5}$.
Ответ: $(-\infty; -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; \infty)$

3) $9x^2 \le 5x$

Перенесем все члены в левую часть неравенства:
$9x^2 - 5x \le 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(9x - 5) \le 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $x(9x - 5) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 5/9$.
Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; 0]$, $[0; 5/9]$ и $[5/9; \infty)$.
График функции $y = 9x^2 - 5x$ — это парабола с ветвями вверх. Значения функции не положительны (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $0 \le x \le 5/9$.
Ответ: $[0; 5/9]$

4) $-4x^2 \ge -12x$

Перенесем все члены в одну часть:
$-4x^2 + 12x \ge 0$
Для удобства разделим обе части неравенства на -4. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 - 3x \le 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 3) \le 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $x(x - 3) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.
График функции $y = x^2 - 3x$ — это парабола с ветвями вверх. Значения функции не положительны (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $0 \le x \le 3$.
Ответ: $[0; 3]$

5) $-7x^2 < -28$

Разделим обе части неравенства на -7. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 > 4$
Перенесем 4 в левую часть:
$x^2 - 4 > 0$
Разложим левую часть на множители:
$(x - 2)(x + 2) > 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 2)(x + 2) = 0$. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
График функции $y = x^2 - 4$ — это парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны (больше нуля) вне интервала между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $x < -2$ или $x > 2$.
Ответ: $(-\infty; -2) \cup (2; \infty)$

6) $0,4x^2 < -10x$

Перенесем все члены в левую часть неравенства:
$0,4x^2 + 10x < 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(0,4x + 10) < 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $x(0,4x + 10) = 0$.
Первый корень: $x_1 = 0$.
Второй корень находим из уравнения $0,4x + 10 = 0$:
$0,4x = -10$
$x_2 = -10 / 0,4 = -100 / 4 = -25$
Корнями являются $x_1 = -25$ и $x_2 = 0$.
График функции $y = 0,4x^2 + 10x$ — это парабола с ветвями вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Значения функции отрицательны (меньше нуля) на интервале между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $-25 < x < 0$.
Ответ: $(-25; 0)$