Номер 120, страница 58 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

120. Найдите, при каких значениях $a$ не имеет корней уравнение:

1) $x^2 + (a+1)x + 1 = 0$;

2) $(a-1)x^2 - 2ax + 3a = 0$;

3) $(9-3a)x^2 - (a-3)x + 1 = 0$;

4) $(a-2)x^2 - 2(a+1)x + 3a + 3 = 0$.

Чтобы уравнение не имело корней, необходимо рассмотреть два случая:

1. Когда уравнение является квадратным (коэффициент при $x^2$ не равен нулю), его дискриминант должен быть отрицательным ($D < 0$).
2. Когда уравнение вырождается в линейное (коэффициент при $x^2$ равен нулю), оно не имеет корней, если коэффициент при $x$ также равен нулю, а свободный член отличен от нуля.

Данное уравнение является квадратным при любом значении параметра $a$, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (не равен нулю).

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ меньше нуля.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (a+1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = (a+1)^2 - 4$

Решим неравенство $D < 0$:

$(a+1)^2 - 4 < 0$

$(a+1)^2 < 4$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$|a+1| < 2$

Это неравенство равносильно системе:

$-2 < a+1 < 2$

Вычитая 1 из всех частей, находим $a$:

$-3 < a < 1$

Таким образом, уравнение не имеет корней при $a \in (-3; 1)$.

Ответ: $a \in (-3; 1)$.

Это уравнение может быть как квадратным, так и линейным.

Случай 1: Уравнение является квадратным.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю: $a-1 \ne 0$, то есть $a \ne 1$.

Уравнение не имеет корней, если его дискриминант $D < 0$.

$D = (-2a)^2 - 4(a-1)(3a) = 4a^2 - 12a(a-1) = 4a^2 - 12a^2 + 12a = -8a^2 + 12a$

Решим неравенство $D < 0$:

$-8a^2 + 12a < 0$

Разделим обе части на -4 и сменим знак неравенства:

$2a^2 - 3a > 0$

$a(2a - 3) > 0$

Корни соответствующего уравнения $a(2a-3)=0$ равны $a=0$ и $a=3/2$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при значениях $a$ вне интервала между корнями.

Следовательно, $a < 0$ или $a > 3/2$.

Случай 2: Уравнение является линейным.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю: $a-1 = 0$, то есть $a = 1$.

Подставим $a=1$ в исходное уравнение:

$(1-1)x^2 - 2(1)x + 3(1) = 0$

$-2x + 3 = 0$

Это линейное уравнение имеет один корень $x = 3/2$. Следовательно, значение $a=1$ не удовлетворяет условию задачи.

Объединяя результаты, получаем, что уравнение не имеет корней при $a \in (-\infty; 0) \cup (3/2; +\infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$.

Это уравнение может быть как квадратным, так и линейным.

Случай 1: Уравнение является квадратным.

Это происходит при $9-3a \ne 0$, то есть $a \ne 3$.

Уравнение не имеет корней, если $D < 0$.

$D = (-(a-3))^2 - 4(9-3a)(1) = (a-3)^2 - 12(3-a)$.

Так как $(a-3)^2 = (3-a)^2$, то:

$D = (3-a)^2 - 12(3-a)$

Решим неравенство $D < 0$:

$(3-a)^2 - 12(3-a) < 0$

Вынесем $(3-a)$ за скобки:

$(3-a)( (3-a) - 12) < 0$

$(3-a)(-a-9) < 0$

$-(a-3)(-(a+9)) < 0$

$(a-3)(a+9) < 0$

Корни соответствующего уравнения равны $a=3$ и $a=-9$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями.

Следовательно, $-9 < a < 3$.

Случай 2: Уравнение является линейным.

Это происходит при $9-3a = 0$, то есть $a = 3$.

Подставим $a=3$ в уравнение:

$(9-3\cdot3)x^2 - (3-3)x + 1 = 0$

$0 \cdot x^2 - 0 \cdot x + 1 = 0$

$1 = 0$

Получено неверное равенство, значит при $a=3$ уравнение не имеет корней.

Объединяем результаты.

Из первого случая мы получили интервал $a \in (-9; 3)$. Из второго случая мы получили значение $a=3$. Объединение этих множеств дает полуинтервал $(-9; 3]$.

Ответ: $a \in (-9; 3]$.

Это уравнение может быть как квадратным, так и линейным.

Случай 1: Уравнение является квадратным.

Это происходит при $a-2 \ne 0$, то есть $a \ne 2$.

Уравнение не имеет корней, если $D < 0$. Так как коэффициент при $x$ четный, удобнее использовать четверть дискриминанта $D/4 = (b/2)^2 - ac$.

$D/4 = (-(a+1))^2 - (a-2)(3a+3) = (a+1)^2 - 3(a-2)(a+1)$.

Вынесем $(a+1)$ за скобки:

$D/4 = (a+1)((a+1) - 3(a-2)) = (a+1)(a+1-3a+6) = (a+1)(-2a+7)$.

Решим неравенство $D/4 < 0$:

$(a+1)(-2a+7) < 0$

Корни соответствующего уравнения $(a+1)(-2a+7)=0$ равны $a=-1$ и $a=7/2$. Так как старший коэффициент (при $a^2$) отрицателен (равен -2), это парабола с ветвями вниз. Неравенство выполняется при значениях $a$ вне интервала между корнями.

Следовательно, $a < -1$ или $a > 7/2$.

Случай 2: Уравнение является линейным.

Это происходит при $a-2=0$, то есть $a=2$.

Подставим $a=2$ в уравнение:

$(2-2)x^2 - 2(2+1)x + 3(2)+3 = 0$

$0 \cdot x^2 - 6x + 9 = 0$

$-6x + 9 = 0$

Это линейное уравнение имеет один корень $x = 9/6 = 3/2$. Значит, значение $a=2$ не подходит.

Объединяя результаты, получаем, что уравнение не имеет корней при $a \in (-\infty; -1) \cup (7/2; +\infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty; -1) \cup (\frac{7}{2}; +\infty)$.