Страница 58 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

118. Решите систему неравенств:

1)

Решим первое неравенство системы: $x^2 - 3x - 10 \le 0$.

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{3 - 7}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 3x - 10$ направлены вверх ($a=1>0$), решение неравенства $x^2 - 3x - 10 \le 0$ находится между корнями, включая сами корни. Таким образом, $x \in [-2, 5]$.

Второе неравенство системы: $x > 1$. Решением является интервал $(1, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in [-2, 5]$ и $x \in (1, \infty)$.

Общим решением является интервал $(1, 5]$.

Ответ: $(1, 5]$.

2)

Решим первое неравенство системы: $3x^2 - 10x - 8 > 0$.

Найдем корни уравнения $3x^2 - 10x - 8 = 0$.

Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196 = 14^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{10 - 14}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$ и $x_2 = \frac{10 + 14}{6} = \frac{24}{6} = 4$.

Ветви параболы $y = 3x^2 - 10x - 8$ направлены вверх ($a=3>0$), поэтому решение неравенства $3x^2 - 10x - 8 > 0$ находится вне интервала между корнями. Таким образом, $x \in (-\infty, -2/3) \cup (4, \infty)$.

Второе неравенство системы: $x \le 5$. Решением является интервал $(-\infty, 5]$.

Найдем пересечение множеств $(-\infty, -2/3) \cup (4, \infty)$ и $(-\infty, 5]$.

Пересечение $(-\infty, -2/3)$ и $(-\infty, 5]$ дает $(-\infty, -2/3)$.

Пересечение $(4, \infty)$ и $(-\infty, 5]$ дает $(4, 5]$.

Объединяя эти результаты, получаем решение системы: $(-\infty, -2/3) \cup (4, 5]$.

Ответ: $(-\infty, -2/3) \cup (4, 5]$.

3)

Решим первое неравенство системы: $2x^2 - 3x - 9 \le 0$.

Найдем корни уравнения $2x^2 - 3x - 9 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81 = 9^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{3 - 9}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$ и $x_2 = \frac{3 + 9}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

Ветви параболы $y = 2x^2 - 3x - 9$ направлены вверх ($a=2>0$), поэтому решение неравенства $2x^2 - 3x - 9 \le 0$ есть отрезок $[-\frac{3}{2}, 3]$.

Решим второе неравенство системы: $2x - 7 \ge 0$.

$2x \ge 7$, откуда $x \ge \frac{7}{2}$ или $x \ge 3.5$. Решением является промежуток $[3.5, \infty)$.

Найдем пересечение решений $[-\frac{3}{2}, 3]$ и $[3.5, \infty)$.

Так как $3 < 3.5$, эти промежутки не пересекаются. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (нет решений).

4)

Решим первое неравенство: $x^2 - 5x - 14 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 14 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 7$.

Ветви параболы направлены вверх ($a=1>0$), поэтому решение неравенства $x^2 - 5x - 14 \le 0$ есть отрезок $[-2, 7]$.

Решим второе неравенство: $3x + 6 \le 0$.

$3x \le -6$, откуда $x \le -2$. Решением является промежуток $(-\infty, -2]$.

Найдем пересечение решений $[-2, 7]$ и $(-\infty, -2]$.

Общим решением является единственная точка $x = -2$.

Ответ: $\{-2\}$.

5)

Решим первое неравенство: $x^2 - x - 6 \ge 0$.

Корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$: $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства $x^2 - x - 6 \ge 0$ есть объединение промежутков $(-\infty, -2] \cup [3, \infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - x - 30 < 0$.

Корни уравнения $x^2 - x - 30 = 0$: $x_1 = -5$ и $x_2 = 6$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства $x^2 - x - 30 < 0$ есть интервал $(-5, 6)$.

Найдем пересечение множеств $((-\infty, -2] \cup [3, \infty))$ и $(-5, 6)$.

Пересечение $(-5, 6)$ с $(-\infty, -2]$ дает $(-5, -2]$.

Пересечение $(-5, 6)$ с $[3, \infty)$ дает $[3, 6)$.

Общим решением является объединение этих промежутков: $(-5, -2] \cup [3, 6)$.

Ответ: $(-5, -2] \cup [3, 6)$.

6)

Решим первое неравенство: $x^2 - 4x - 12 \le 0$.

Корни уравнения $x^2 - 4x - 12 = 0$: $x_1 = -2$ и $x_2 = 6$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства $x^2 - 4x - 12 \le 0$ есть отрезок $[-2, 6]$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 6x - 7 < 0$.

Корни уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$: $x_1 = -1$ и $x_2 = 7$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства $x^2 - 6x - 7 < 0$ есть интервал $(-1, 7)$.

Найдем пересечение решений $[-2, 6]$ и $(-1, 7)$.

Общим решением является полуинтервал $(-1, 6]$.

Ответ: $(-1, 6]$.

119. Найдите целые решения системы неравенств:

1) $\begin{cases} x^2 - 7x + 6 < 0, \\ x \ge 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3x^2 - 4x \le 0, \\ -0,3x + 0,9 > 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - 7x - 18 \ge 0, \\ -3,1 \le x \le 15,4; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 + (\sqrt{11} - 3)x - 3\sqrt{11} \le 0, \\ -x^2 - 1,5x + 7 \ge 0. \end{cases}$

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 - 7x + 6 < 0, \\ x \ge 2; \end{cases} $$

Сначала решим первое неравенство $x^2 - 7x + 6 < 0$. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 6. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.

Графиком функции $y = x^2 - 7x + 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции меньше нуля на интервале между корнями. Таким образом, решение первого неравенства: $1 < x < 6$.

Второе неравенство системы: $x \ge 2$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $(1; 6) \cap [2; +\infty)$. Пересечением является полуинтервал $[2; 6)$.

Целые числа, принадлежащие этому промежутку: 2, 3, 4, 5.

Ответ: 2, 3, 4, 5.

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 3x^2 - 4x \le 0, \\ -0,3x + 0,9 > 0; \end{cases} $$

Решим первое неравенство $3x^2 - 4x \le 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(3x - 4) \le 0$.

Корнями уравнения $x(3x-4)=0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 4/3$. Ветви параболы $y = 3x^2 - 4x$ направлены вверх, поэтому решение неравенства находится на отрезке между корнями: $0 \le x \le 4/3$.

Решим второе неравенство: $-0,3x + 0,9 > 0$.

$-0,3x > -0,9$

Разделим обе части на -0,3, изменив знак неравенства на противоположный: $x < 3$.

Найдем пересечение решений: $[0; 4/3] \cap (-\infty; 3)$. Пересечением является отрезок $[0; 4/3]$.

Поскольку $4/3 = 1\frac{1}{3}$, целыми числами на этом отрезке являются 0 и 1.

Ответ: 0, 1.

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 - 7x - 18 \ge 0, \\ -3,1 \le x \le 15,4; \end{cases} $$

Решим первое неравенство $x^2 - 7x - 18 \ge 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 7x - 18 = 0$ через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 11}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 11}{2} = 9$.

Ветви параболы $y = x^2 - 7x - 18$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется, когда $x$ находится вне отрезка между корнями, включая сами корни: $x \le -2$ или $x \ge 9$. В виде объединения промежутков: $(-\infty; -2] \cup [9; +\infty)$.

Решение второго неравенства уже дано: $[-3,1; 15,4]$.

Найдем пересечение множеств $(-\infty; -2] \cup [9; +\infty)$ и $[-3,1; 15,4]$.

Пересечение дает нам объединение двух отрезков: $[-3,1; -2] \cup [9; 15,4]$.

Найдем целые числа в полученных промежутках. В отрезке $[-3,1; -2]$ это числа -3, -2. В отрезке $[9; 15,4]$ это числа 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Ответ: -3, -2, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 + (\sqrt{11} - 3)x - 3\sqrt{11} \le 0, \\ -x^2 - 1,5x + 7 \ge 0. \end{cases} $$

Решим первое неравенство $x^2 + (\sqrt{11} - 3)x - 3\sqrt{11} \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + (\sqrt{11} - 3)x - 3\sqrt{11} = 0$. По теореме Виета, сумма корней $x_1+x_2 = -( \sqrt{11} - 3) = 3 - \sqrt{11}$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = -3\sqrt{11}$. Методом подбора находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -\sqrt{11}$.

Ветви параболы направлены вверх, значит, решение неравенства находится на отрезке между корнями. Так как $-\sqrt{11} < 3$, то решение: $[-\sqrt{11}; 3]$.

Решим второе неравенство $-x^2 - 1,5x + 7 \ge 0$. Умножим его на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным, и изменим знак неравенства: $x^2 + 1,5x - 7 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 1,5x - 7 = 0$. Дискриминант $D = (1,5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 2,25 + 28 = 30,25 = 5,5^2$.

Корни: $x_1 = \frac{-1,5 - 5,5}{2} = -3,5$ и $x_2 = \frac{-1,5 + 5,5}{2} = 2$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства находится на отрезке между корнями: $[-3,5; 2]$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $[-\sqrt{11}; 3] \cap [-3,5; 2]$.

Оценим значение $-\sqrt{11}$. Так как $3^2=9$ и $4^2=16$, то $3 < \sqrt{11} < 4$. Следовательно, $-4 < -\sqrt{11} < -3$. Более точно, $-\sqrt{11} \approx -3,32$.

Поскольку $-3,5 < -\sqrt{11}$ и $2 < 3$, пересечением является отрезок $[-\sqrt{11}; 2]$.

Найдем целые числа в этом отрезке. Так как $-4 < -\sqrt{11} < -3$, то целыми решениями будут -3, -2, -1, 0, 1, 2.

Ответ: -3, -2, -1, 0, 1, 2.

120. Найдите, при каких значениях $a$ не имеет корней уравнение:

1) $x^2 + (a+1)x + 1 = 0$;

2) $(a-1)x^2 - 2ax + 3a = 0$;

3) $(9-3a)x^2 - (a-3)x + 1 = 0$;

4) $(a-2)x^2 - 2(a+1)x + 3a + 3 = 0$.

Чтобы уравнение не имело корней, необходимо рассмотреть два случая:

1. Когда уравнение является квадратным (коэффициент при $x^2$ не равен нулю), его дискриминант должен быть отрицательным ($D < 0$).
2. Когда уравнение вырождается в линейное (коэффициент при $x^2$ равен нулю), оно не имеет корней, если коэффициент при $x$ также равен нулю, а свободный член отличен от нуля.

Данное уравнение является квадратным при любом значении параметра $a$, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (не равен нулю).

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ меньше нуля.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (a+1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = (a+1)^2 - 4$

Решим неравенство $D < 0$:

$(a+1)^2 - 4 < 0$

$(a+1)^2 < 4$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$|a+1| < 2$

Это неравенство равносильно системе:

$-2 < a+1 < 2$

Вычитая 1 из всех частей, находим $a$:

$-3 < a < 1$

Таким образом, уравнение не имеет корней при $a \in (-3; 1)$.

Ответ: $a \in (-3; 1)$.

Это уравнение может быть как квадратным, так и линейным.

Случай 1: Уравнение является квадратным.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю: $a-1 \ne 0$, то есть $a \ne 1$.

Уравнение не имеет корней, если его дискриминант $D < 0$.

$D = (-2a)^2 - 4(a-1)(3a) = 4a^2 - 12a(a-1) = 4a^2 - 12a^2 + 12a = -8a^2 + 12a$

Решим неравенство $D < 0$:

$-8a^2 + 12a < 0$

Разделим обе части на -4 и сменим знак неравенства:

$2a^2 - 3a > 0$

$a(2a - 3) > 0$

Корни соответствующего уравнения $a(2a-3)=0$ равны $a=0$ и $a=3/2$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при значениях $a$ вне интервала между корнями.

Следовательно, $a < 0$ или $a > 3/2$.

Случай 2: Уравнение является линейным.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю: $a-1 = 0$, то есть $a = 1$.

Подставим $a=1$ в исходное уравнение:

$(1-1)x^2 - 2(1)x + 3(1) = 0$

$-2x + 3 = 0$

Это линейное уравнение имеет один корень $x = 3/2$. Следовательно, значение $a=1$ не удовлетворяет условию задачи.

Объединяя результаты, получаем, что уравнение не имеет корней при $a \in (-\infty; 0) \cup (3/2; +\infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$.

Это уравнение может быть как квадратным, так и линейным.

Случай 1: Уравнение является квадратным.

Это происходит при $9-3a \ne 0$, то есть $a \ne 3$.

Уравнение не имеет корней, если $D < 0$.

$D = (-(a-3))^2 - 4(9-3a)(1) = (a-3)^2 - 12(3-a)$.

Так как $(a-3)^2 = (3-a)^2$, то:

$D = (3-a)^2 - 12(3-a)$

Решим неравенство $D < 0$:

$(3-a)^2 - 12(3-a) < 0$

Вынесем $(3-a)$ за скобки:

$(3-a)( (3-a) - 12) < 0$

$(3-a)(-a-9) < 0$

$-(a-3)(-(a+9)) < 0$

$(a-3)(a+9) < 0$

Корни соответствующего уравнения равны $a=3$ и $a=-9$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями.

Следовательно, $-9 < a < 3$.

Случай 2: Уравнение является линейным.

Это происходит при $9-3a = 0$, то есть $a = 3$.

Подставим $a=3$ в уравнение:

$(9-3\cdot3)x^2 - (3-3)x + 1 = 0$

$0 \cdot x^2 - 0 \cdot x + 1 = 0$

$1 = 0$

Получено неверное равенство, значит при $a=3$ уравнение не имеет корней.

Объединяем результаты.

Из первого случая мы получили интервал $a \in (-9; 3)$. Из второго случая мы получили значение $a=3$. Объединение этих множеств дает полуинтервал $(-9; 3]$.

Ответ: $a \in (-9; 3]$.

Это уравнение может быть как квадратным, так и линейным.

Случай 1: Уравнение является квадратным.

Это происходит при $a-2 \ne 0$, то есть $a \ne 2$.

Уравнение не имеет корней, если $D < 0$. Так как коэффициент при $x$ четный, удобнее использовать четверть дискриминанта $D/4 = (b/2)^2 - ac$.

$D/4 = (-(a+1))^2 - (a-2)(3a+3) = (a+1)^2 - 3(a-2)(a+1)$.

Вынесем $(a+1)$ за скобки:

$D/4 = (a+1)((a+1) - 3(a-2)) = (a+1)(a+1-3a+6) = (a+1)(-2a+7)$.

Решим неравенство $D/4 < 0$:

$(a+1)(-2a+7) < 0$

Корни соответствующего уравнения $(a+1)(-2a+7)=0$ равны $a=-1$ и $a=7/2$. Так как старший коэффициент (при $a^2$) отрицателен (равен -2), это парабола с ветвями вниз. Неравенство выполняется при значениях $a$ вне интервала между корнями.

Следовательно, $a < -1$ или $a > 7/2$.

Случай 2: Уравнение является линейным.

Это происходит при $a-2=0$, то есть $a=2$.

Подставим $a=2$ в уравнение:

$(2-2)x^2 - 2(2+1)x + 3(2)+3 = 0$

$0 \cdot x^2 - 6x + 9 = 0$

$-6x + 9 = 0$

Это линейное уравнение имеет один корень $x = 9/6 = 3/2$. Значит, значение $a=2$ не подходит.

Объединяя результаты, получаем, что уравнение не имеет корней при $a \in (-\infty; -1) \cup (7/2; +\infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty; -1) \cup (\frac{7}{2}; +\infty)$.

121. При каких значениях $b$ имеет два различных действительных корня уравнение:

1) $x^2 - bx + 2b - 3 = 0;$

2) $bx^2 + (2b - 1)x + b = 0;$

3) $(1 - 2b)x^2 + 2(2b + 1)x + 6b - 2 = 0;$

4) $(2b + 10)x^2 + (b - 10)x - b + 4 = 0?$

1) $x^2 - bx + 2b - 3 = 0$

Уравнение является квадратным, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (не равен 0). Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, когда его дискриминант $D$ строго больше нуля.

Найдем дискриминант:
$D = (-b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2b - 3) = b^2 - 8b + 12$

Решим неравенство $D > 0$:
$b^2 - 8b + 12 > 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $b^2 - 8b + 12 = 0$. По теореме Виета, корни $b_1 = 2$ и $b_2 = 6$.
Парабола $y = b^2 - 8b + 12$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при значениях $b$ вне интервала между корнями.
Следовательно, $b \in (-\infty; 2) \cup (6; \infty)$.

Ответ: $b \in (-\infty; 2) \cup (6; \infty)$.

2) $bx^2 + (2b - 1)x + b = 0$

Чтобы уравнение имело два различных корня, оно должно быть квадратным, то есть коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю.
Условие 1: $b \neq 0$.

Дискриминант должен быть строго больше нуля.
$D = (2b - 1)^2 - 4 \cdot b \cdot b = 4b^2 - 4b + 1 - 4b^2 = 1 - 4b$

Условие 2: $D > 0$.
$1 - 4b > 0$
$1 > 4b$
$b < \frac{1}{4}$

Объединяем оба условия: $b < \frac{1}{4}$ и $b \neq 0$.
Это соответствует двум интервалам: $(-\infty; 0)$ и $(0; \frac{1}{4})$.

Ответ: $b \in (-\infty; 0) \cup (0; 0.25)$.

3) $(1 - 2b)x^2 + 2(2b + 1)x + 6b - 2 = 0$

Условие 1: уравнение должно быть квадратным.
$1 - 2b \neq 0 \implies 2b \neq 1 \implies b \neq \frac{1}{2}$.

Условие 2: дискриминант должен быть строго больше нуля.
Удобнее использовать формулу для четного второго коэффициента $D_1 = (\frac{k}{2})^2 - ac$:
$D_1 = (2b + 1)^2 - (1 - 2b)(6b - 2)$
$D_1 = (4b^2 + 4b + 1) - (6b - 2 - 12b^2 + 4b)$
$D_1 = 4b^2 + 4b + 1 - (10b - 12b^2 - 2)$
$D_1 = 4b^2 + 4b + 1 - 10b + 12b^2 + 2 = 16b^2 - 6b + 3$

Решим неравенство $16b^2 - 6b + 3 > 0$.
Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена относительно $b$:
$D_b = (-6)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 3 = 36 - 192 = -156$.
Так как $D_b < 0$ и коэффициент при $b^2$ (равный 16) положителен, трехчлен $16b^2 - 6b + 3$ всегда принимает положительные значения.
Таким образом, неравенство $D_1 > 0$ выполняется для любого действительного значения $b$.

Остается учесть только первое условие: $b \neq \frac{1}{2}$.

Ответ: $b \in (-\infty; 0.5) \cup (0.5; \infty)$.

4) $(2b + 10)x^2 + (b - 10)x - b + 4 = 0$

Условие 1: уравнение должно быть квадратным.
$2b + 10 \neq 0 \implies 2b \neq -10 \implies b \neq -5$.

Условие 2: дискриминант должен быть строго больше нуля.
$D = (b - 10)^2 - 4 \cdot (2b + 10) \cdot (-b + 4)$
$D = (b^2 - 20b + 100) - 4(-2b^2 + 8b - 10b + 40)$
$D = (b^2 - 20b + 100) - 4(-2b^2 - 2b + 40)$
$D = b^2 - 20b + 100 + 8b^2 + 8b - 160$
$D = 9b^2 - 12b - 60$

Решим неравенство $9b^2 - 12b - 60 > 0$. Разделим обе части на 3:
$3b^2 - 4b - 20 > 0$
Найдем корни уравнения $3b^2 - 4b - 20 = 0$:
$b = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20)}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 240}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{256}}{6} = \frac{4 \pm 16}{6}$
$b_1 = \frac{4 + 16}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$
$b_2 = \frac{4 - 16}{6} = \frac{-12}{6} = -2$
Парабола $y = 3b^2 - 4b - 20$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $b \in (-\infty; -2) \cup (\frac{10}{3}; \infty)$.

Объединяем оба условия: $b \in (-\infty; -2) \cup (\frac{10}{3}; \infty)$ и $b \neq -5$.
Значение $b = -5$ попадает в интервал $(-\infty; -2)$, поэтому его нужно исключить.

Ответ: $b \in (-\infty; -5) \cup (-5; -2) \cup (\frac{10}{3}; \infty)$.

122. Найдите значения a, при которых выполняется при всех действительных значениях x неравенство:

1) $x^2 - 2(a+1)x + 2a^2 - a + 1 > 0;$

2) $-\frac{1}{2}x^2 - 2ax + 8a^2 - 4a \le 0;$

3) $ax^2 + 8x - a + 10 > 0;$

4) $(4-a^2)x^2 + 2(a-2)x + 1 \le 0.$

1) Данное неравенство $x^2 - 2(a + 1)x + 2a^2 - a + 1 > 0$ является квадратным относительно $x$. Графиком функции $y = x^2 - 2(a + 1)x + 2a^2 - a + 1$ является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Чтобы неравенство выполнялось для всех действительных значений $x$, парабола должна быть расположена полностью выше оси абсцисс, то есть не иметь с ней общих точек. Это эквивалентно тому, что дискриминант $D$ соответствующего квадратного уравнения должен быть отрицательным. Вычислим дискриминант (удобнее использовать $D/4$):
$D/4 = (-(a + 1))^2 - 1 \cdot (2a^2 - a + 1) = (a + 1)^2 - (2a^2 - a + 1)$
$D/4 = (a^2 + 2a + 1) - (2a^2 - a + 1) = a^2 + 2a + 1 - 2a^2 + a - 1 = -a^2 + 3a$.
Теперь решим неравенство $D/4 < 0$:
$-a^2 + 3a < 0$
Умножим на -1 и изменим знак неравенства:
$a^2 - 3a > 0$
$a(a - 3) > 0$
Решением этого неравенства является объединение интервалов $a < 0$ и $a > 3$.
Ответ: $a \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.

2) Рассмотрим неравенство $-\frac{1}{2}x^2 - 2ax + 8a^2 - 4a \le 0$. Это квадратичное неравенство. Коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{1}{2}$, что меньше нуля. Следовательно, ветви параболы $y = -\frac{1}{2}x^2 - 2ax + 8a^2 - 4a$ направлены вниз. Чтобы неравенство выполнялось для всех действительных $x$, парабола должна находиться полностью ниже оси абсцисс или касаться ее. Это означает, что соответствующее квадратное уравнение может иметь не более одного действительного корня, то есть его дискриминант $D$ должен быть неположительным ($D \le 0$). Для удобства вычислений умножим исходное неравенство на -2, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 + 4ax - 16a^2 + 8a \ge 0$. Условия для выполнения этого неравенства для всех $x$ (парабола с ветвями вверх не ниже оси Ох) приводят к тому же требованию для дискриминанта: $D \le 0$. Вычислим $D/4$ для уравнения $x^2 + 4ax - 16a^2 + 8a = 0$:
$D/4 = (2a)^2 - 1 \cdot (-16a^2 + 8a) = 4a^2 + 16a^2 - 8a = 20a^2 - 8a$.
Решим неравенство $D/4 \le 0$:
$20a^2 - 8a \le 0$
$4a(5a - 2) \le 0$
Корни уравнения $4a(5a - 2) = 0$ это $a=0$ и $a=2/5$. Поскольку парабола $y = 20a^2 - 8a$ имеет ветви вверх, неравенство выполняется между корнями (включая их).
Следовательно, $0 \le a \le 2/5$.
Ответ: $a \in [0, 2/5]$.

3) Рассмотрим неравенство $ax^2 + 8x - a + 10 > 0$. Коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $a$, поэтому необходимо рассмотреть два случая.
Случай 1: $a = 0$.
Неравенство становится линейным: $0 \cdot x^2 + 8x - 0 + 10 > 0$, то есть $8x + 10 > 0$. $8x > -10 \implies x > -5/4$. Это неравенство выполняется не для всех действительных значений $x$, поэтому $a=0$ не является решением.
Случай 2: $a \ne 0$.
Неравенство является квадратным. Чтобы оно выполнялось для всех $x$, необходимо, чтобы парабола $y = ax^2 + 8x - a + 10$ была направлена ветвями вверх и не имела точек пересечения с осью абсцисс. Это требует одновременного выполнения двух условий:
1. Коэффициент при $x^2$ должен быть положительным: $a > 0$.
2. Дискриминант $D$ должен быть отрицательным: $D < 0$.
Вычислим $D/4$:
$D/4 = 4^2 - a(-a + 10) = 16 + a^2 - 10a = a^2 - 10a + 16$.
Решим неравенство $D/4 < 0$:
$a^2 - 10a + 16 < 0$
Найдем корни уравнения $a^2 - 10a + 16 = 0$. По теореме Виета, корни $a_1=2, a_2=8$. Неравенство $(a - 2)(a - 8) < 0$ выполняется на интервале между корнями: $2 < a < 8$. Этот интервал удовлетворяет первому условию $a > 0$.
Ответ: $a \in (2, 8)$.

4) Рассмотрим неравенство $(4 - a^2)x^2 + 2(a - 2)x + 1 \le 0$.
Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.
$4 - a^2 = 0 \implies a = 2$ или $a = -2$.
При $a = 2$, неравенство принимает вид $0 \cdot x^2 + 2(2 - 2)x + 1 \le 0$, то есть $1 \le 0$. Это неверно. При $a = -2$, неравенство принимает вид $0 \cdot x^2 + 2(-2 - 2)x + 1 \le 0$, то есть $-8x + 1 \le 0$, или $x \ge 1/8$. Это неравенство выполняется не для всех $x$. Значит, $a = \pm 2$ не являются решениями.
Случай 2: $a \ne \pm 2$.
Неравенство является квадратным. Чтобы оно выполнялось для всех $x$, парабола $y = (4 - a^2)x^2 + 2(a - 2)x + 1$ должна быть направлена ветвями вниз и находиться не выше оси абсцисс. Это требует одновременного выполнения двух условий:
1. $4 - a^2 < 0$.
2. $D \le 0$.
Решим первое условие: $4 - a^2 < 0 \implies a^2 > 4 \implies a < -2$ или $a > 2$. То есть $a \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.
Вычислим $D/4$:
$D/4 = (a - 2)^2 - (4 - a^2) \cdot 1 = a^2 - 4a + 4 - 4 + a^2 = 2a^2 - 4a$.
Решим второе условие $D/4 \le 0$:
$2a^2 - 4a \le 0$
$2a(a - 2) \le 0$
Это неравенство выполняется для $a \in [0, 2]$.
Теперь необходимо найти пересечение множеств решений обоих условий: $((-\infty, -2) \cup (2, \infty)) \cap [0, 2]$. Данное пересечение является пустым множеством. Следовательно, нет таких значений $a$, при которых неравенство выполняется для всех $x$.
Ответ: таких значений $a$ не существует.

123. При каких значениях m не имеет решений неравенство:

1) $mx^2 - 2mx + m - 9 > 0;$

2) $(3m - 4)x^2 + 2(m - 2)x + m - 2 \le 0?$

1) $mx^2 - 2mx + m - 9 > 0$

Данное неравенство не имеет решений тогда и только тогда, когда для любого действительного значения $x$ выполняется противоположное неравенство: $mx^2 - 2mx + m - 9 \le 0$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $m = 0$.

При $m = 0$ неравенство принимает вид: $0 \cdot x^2 - 2 \cdot 0 \cdot x + 0 - 9 \le 0$, что равносильно $-9 \le 0$. Это неравенство верно для любого значения $x$. Следовательно, исходное неравенство $mx^2 - 2mx + m - 9 > 0$ при $m=0$ решений не имеет. Значит, $m=0$ входит в искомое множество значений.

Случай 2: $m \ne 0$.

В этом случае $f(x) = mx^2 - 2mx + m - 9$ является квадратичной функцией. Для того чтобы неравенство $f(x) \le 0$ выполнялось для всех $x$, необходимо, чтобы парабола, являющаяся графиком функции, была направлена ветвями вниз и не имела точек выше оси абсцисс. Это соответствует двум условиям:

1. Коэффициент при $x^2$ должен быть отрицательным: $a = m < 0$.

2. Дискриминант квадратного трехчлена должен быть неположительным (парабола касается оси Ox или находится ниже нее): $D \le 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-2m)^2 - 4 \cdot m \cdot (m-9) = 4m^2 - 4m^2 + 36m = 36m$.

Решим неравенство $D \le 0$:

$36m \le 0 \implies m \le 0$.

Система условий для этого случая: $\begin{cases} m < 0 \\ m \le 0 \end{cases}$. Решением этой системы является $m < 0$.

Объединяя результаты обоих случаев ($m=0$ из первого случая и $m<0$ из второго), получаем, что исходное неравенство не имеет решений при $m \le 0$.

Ответ: $m \in (-\infty, 0]$.

2) $(3m-4)x^2+2(m-2)x+m-2 \le 0$

Данное неравенство не имеет решений тогда и только тогда, когда для любого действительного значения $x$ выполняется противоположное строгое неравенство: $(3m-4)x^2+2(m-2)x+m-2 > 0$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

$3m - 4 = 0 \implies m = 4/3$.

Подставим это значение в неравенство $(3m-4)x^2+2(m-2)x+m-2 > 0$:

$0 \cdot x^2 + 2(4/3 - 2)x + 4/3 - 2 > 0$

$2(-2/3)x - 2/3 > 0$

$-4/3 x > 2/3$

$x < -1/2$

Это неравенство выполняется не для всех $x$, а только для $x < -1/2$. Следовательно, $m = 4/3$ не является решением задачи.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю.

$3m - 4 \ne 0 \implies m \ne 4/3$.

В этом случае $g(x) = (3m-4)x^2+2(m-2)x+m-2$ является квадратичной функцией. Для того чтобы неравенство $g(x) > 0$ выполнялось для всех $x$, необходимо, чтобы парабола, являющаяся графиком функции, была направлена ветвями вверх и целиком лежала выше оси абсцисс. Это соответствует двум условиям:

1. Коэффициент при $x^2$ должен быть положительным: $a = 3m - 4 > 0 \implies m > 4/3$.

2. Дискриминант квадратного трехчлена должен быть отрицательным: $D < 0$.

Вычислим дискриминант (удобно использовать $D/4$):

$k = b/2 = m-2$.

$D/4 = k^2 - ac = (m-2)^2 - (3m-4)(m-2) = (m-2)[(m-2) - (3m-4)] = (m-2)(m-2-3m+4) = (m-2)(-2m+2) = -2(m-1)(m-2)$.

Решим неравенство $D/4 < 0$:

$-2(m-1)(m-2) < 0$

$(m-1)(m-2) > 0$

Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $m \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$.

Теперь объединим оба условия в систему:

$\begin{cases} m > 4/3 \\ m \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty) \end{cases}$

Так как $4/3 \approx 1.33$, то пересечение множества $m > 4/3$ с интервалом $(-\infty, 1)$ пусто. Пересечение множества $m > 4/3$ с интервалом $(2, +\infty)$ дает $m > 2$.

Следовательно, исходное неравенство не имеет решений при $m > 2$.

Ответ: $m \in (2, +\infty)$.