Страница 54 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

86. Постройте график функции $y = \sqrt{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x + 2}$;

2) $y = \sqrt{x + 3}$;

3) $y = 2 + \sqrt{x - 1}$.

Для построения заданных графиков функций, сначала рассмотрим базовую функцию $y = \sqrt{x}$. График этой функции — ветвь параболы, выходящая из начала координат и расположенная в первой координатной четверти. Область определения: $x \ge 0$.

Для построения графиков остальных функций будем использовать метод геометрических преобразований (сдвигов) графика функции $y = \sqrt{x}$.

1) $y = \sqrt{x} + 2$

График функции вида $y = f(x) + c$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (Oy) на $c$ единиц. Если $c > 0$, сдвиг происходит вверх, если $c < 0$ — вниз.

В данном случае $c=2$, поэтому для построения графика функции $y = \sqrt{x} + 2$ необходимо сдвинуть график функции $y = \sqrt{x}$ на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Начало графика, точка $(0,0)$, переместится в точку $(0,2)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x} + 2$ получается путем сдвига графика $y = \sqrt{x}$ на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

2) $y = \sqrt{x + 3}$

График функции вида $y = f(x+c)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (Ox) на $c$ единиц. Если $c > 0$, сдвиг происходит влево, если $c < 0$ — вправо.

В данном случае $c=3$, поэтому для построения графика функции $y = \sqrt{x+3}$ необходимо сдвинуть график функции $y = \sqrt{x}$ на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Начало графика, точка $(0,0)$, переместится в точку $(-3,0)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x+3}$ получается путем сдвига графика $y = \sqrt{x}$ на 3 единицы влево вдоль оси Ox.

3) $y = 2 + \sqrt{x - 1}$

Данное преобразование является комбинацией двух сдвигов. Запишем функцию в виде $y = \sqrt{x-1} + 2$.

Сначала выполним сдвиг по оси Ox. Аргумент $x-1$ означает, что график функции $y = \sqrt{x}$ нужно сдвинуть на 1 единицу вправо. Получим промежуточный график функции $y = \sqrt{x-1}$.

Затем выполним сдвиг по оси Oy. Прибавление 2 к функции означает, что промежуточный график $y = \sqrt{x-1}$ нужно сдвинуть на 2 единицы вверх.

Таким образом, график функции $y = 2 + \sqrt{x-1}$ получается путем сдвига графика $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox и на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Начало графика, точка $(0,0)$, переместится в точку $(1,2)$.

Ответ: График функции $y = 2 + \sqrt{x - 1}$ получается путем сдвига графика $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox и на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

87. Постройте график функции $y = -\sqrt{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = 1 - \sqrt{x};$

2) $y = -2 - \sqrt{x+1}.$

Для построения заданных графиков сначала построим базовый график функции $y = -\sqrt{x}$. Этот график симметричен графику функции $y = \sqrt{x}$ относительно оси абсцисс (Ox). Область определения функции: $x \ge 0$. Область значений: $y \le 0$.

Найдем координаты нескольких ключевых точек для графика $y = -\sqrt{x}$:

• Если $x=0$, то $y=0$. Точка (0; 0).
• Если $x=1$, то $y=-1$. Точка (1; -1).
• Если $x=4$, то $y=-2$. Точка (4; -2).
• Если $x=9$, то $y=-3$. Точка (9; -3).

Соединив эти точки плавной линией, получим график функции $y = -\sqrt{x}$. Теперь, используя этот график как основу, построим требуемые графики.

Перепишем уравнение в виде $y = -\sqrt{x} + 1$. Это преобразование вида $y = f(x) + c$, где $f(x) = -\sqrt{x}$ и $c=1$. Чтобы построить график функции $y = f(x) + c$, необходимо сдвинуть график функции $y = f(x)$ на $|c|$ единиц вдоль оси ординат (Oy): вверх, если $c>0$, и вниз, если $c<0$.

В данном случае $c=1>0$, поэтому для построения графика $y=1-\sqrt{x}$ нужно сдвинуть график $y = -\sqrt{x}$ на 1 единицу вверх. Каждая точка $(x_0; y_0)$ базового графика перейдет в точку $(x_0; y_0+1)$. Например, точка (0; 0) перейдет в (0; 1), точка (1; -1) перейдет в (1; 0), а точка (4; -2) — в (4; -1).

Ответ: График функции $y=1-\sqrt{x}$ получается из графика $y=-\sqrt{x}$ путем параллельного переноса на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

Перепишем уравнение в виде $y = -\sqrt{x+1} - 2$. Для построения этого графика из графика $y = -\sqrt{x}$ нужно выполнить два последовательных преобразования.

Шаг 1: Горизонтальный сдвиг. Построим график функции $y = -\sqrt{x+1}$. Это преобразование вида $y = f(x+a)$, где $a=1$. Оно соответствует сдвигу графика $y = f(x)$ на $a$ единиц влево. Таким образом, сдвигаем график $y = -\sqrt{x}$ на 1 единицу влево вдоль оси Ox. Начало координат (0; 0) переместится в точку (-1; 0).

Шаг 2: Вертикальный сдвиг. Теперь построим график $y = -\sqrt{x+1} - 2$ из графика, полученного на первом шаге. Это преобразование вида $y = g(x) - b$, где $g(x) = -\sqrt{x+1}$ и $b=2$. Оно соответствует сдвигу графика $y=g(x)$ на $b$ единиц вниз. Таким образом, сдвигаем график $y = -\sqrt{x+1}$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

В итоге, чтобы получить график функции $y=-2-\sqrt{x+1}$, нужно сдвинуть график $y=-\sqrt{x}$ на 1 единицу влево и на 2 единицы вниз. Точка (0; 0) базового графика переместится в точку (-1; -2), точка (1; -1) — в (0; -3), а точка (4; -2) — в (3; -4).

Ответ: График функции $y=-2-\sqrt{x+1}$ получается из графика $y=-\sqrt{x}$ путем параллельного переноса на 1 единицу влево вдоль оси Ox и на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

88. Постройте график функции $y = \frac{6}{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = \frac{6}{x} + 2$;

2) $y = \frac{6}{x + 2}$;

3) $y = \frac{6}{x - 1} - 1$;

4) $y = \frac{x + 6}{x}$;

5) $y = \frac{2x - 2}{x + 2}$.

Для построения графиков заданных функций сначала необходимо построить график базовой функции $y = \frac{6}{x}$.

Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox). Для точности построения можно найти несколько точек, принадлежащих графику:

• (1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)
• (-1, -6), (-2, -3), (-3, -2), (-6, -1)

Используя этот базовый график, построим остальные графики с помощью геометрических преобразований.

1) $y = \frac{6}{x} + 2$

График этой функции получается из графика функции $y = \frac{6}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) всего графика вдоль оси Oy на 2 единицы вверх. Вертикальная асимптота остается прежней: $x=0$. Горизонтальная асимптота смещается на 2 единицы вверх и становится $y=2$.

Ответ: График функции $y = \frac{6}{x}$ сдвигается на 2 единицы вверх.

2) $y = \frac{6}{x+2}$

График этой функции получается из графика функции $y = \frac{6}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) всего графика вдоль оси Ox на 2 единицы влево. Горизонтальная асимптота остается прежней: $y=0$. Вертикальная асимптота смещается на 2 единицы влево и становится $x=-2$.

Ответ: График функции $y = \frac{6}{x}$ сдвигается на 2 единицы влево.

3) $y = \frac{6}{x-1} - 1$

График этой функции получается из графика функции $y = \frac{6}{x}$ двумя последовательными сдвигами: на 1 единицу вправо вдоль оси Ox и на 1 единицу вниз вдоль оси Oy. Новые асимптоты: вертикальная $x=1$ и горизонтальная $y=-1$.

Ответ: График функции $y = \frac{6}{x}$ сдвигается на 1 единицу вправо и на 1 единицу вниз.

4) $y = \frac{x+6}{x}$

Преобразуем функцию, выделив целую часть: $y = \frac{x}{x} + \frac{6}{x} = 1 + \frac{6}{x}$. График этой функции получается из графика функции $y = \frac{6}{x}$ путем сдвига вдоль оси Oy на 1 единицу вверх. Вертикальная асимптота остается $x=0$, а горизонтальная асимптота становится $y=1$.

Ответ: График функции $y = \frac{6}{x}$ сдвигается на 1 единицу вверх.

5) $y = \frac{2x-2}{x+2}$

Преобразуем функцию, выделив целую часть дроби: $y = \frac{2x-2}{x+2} = \frac{2(x+2) - 4 - 2}{x+2} = \frac{2(x+2) - 6}{x+2} = 2 - \frac{6}{x+2}$.

График этой функции получается из графика $y = \frac{6}{x}$ следующими преобразованиями: сначала выполняется симметричное отражение относительно оси Ox (получаем график $y = -\frac{6}{x}$), затем сдвиг на 2 единицы влево вдоль оси Ox (получаем $y = -\frac{6}{x+2}$), и, наконец, сдвиг на 2 единицы вверх вдоль оси Oy (получаем итоговый график). Новые асимптоты: вертикальная $x=-2$ и горизонтальная $y=2$.

Ответ: График функции $y = \frac{6}{x}$ отражается симметрично относительно оси Ox, затем сдвигается на 2 единицы влево и на 2 единицы вверх.

89. Определите направление ветвей и координаты вершины параболы:

1) $y = x^2 + 8x - 3$

2) $y = -x^2 - x + 2$

3) $y = 0,3x^2 + 3,6x + 11,3$

4) $y = -3x^2 - 6x + 5$

Для определения направления ветвей и координат вершины параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, воспользуемся следующими правилами:

1. Направление ветвей зависит от знака коэффициента $a$:
- если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх;
- если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины $(x_0, y_0)$ вычисляются по формулам:
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Ордината вершины: $y_0$ находится подстановкой значения $x_0$ в исходное уравнение параболы, то есть $y_0 = ax_0^2 + bx_0 + c$.

1) $y = x^2 + 8x - 3$

Здесь коэффициенты: $a = 1$, $b = 8$, $c = -3$.
Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Найдем координаты вершины $(x_0, y_0)$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 1} = -4$.
$y_0 = (-4)^2 + 8(-4) - 3 = 16 - 32 - 3 = -19$.
Вершина параболы находится в точке $(-4, -19)$.

Ответ: ветви направлены вверх, вершина в точке $(-4, -19)$.

2) $y = -x^2 - x + 2$

Здесь коэффициенты: $a = -1$, $b = -1$, $c = 2$.
Так как $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Найдем координаты вершины $(x_0, y_0)$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot (-1)} = -\frac{1}{2} = -0,5$.
$y_0 = -(-0,5)^2 - (-0,5) + 2 = -0,25 + 0,5 + 2 = 2,25$.
Вершина параболы находится в точке $(-0,5; 2,25)$.

Ответ: ветви направлены вниз, вершина в точке $(-0,5; 2,25)$.

3) $y = 0,3x^2 + 3,6x + 11,3$

Здесь коэффициенты: $a = 0,3$, $b = 3,6$, $c = 11,3$.
Так как $a = 0,3 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Найдем координаты вершины $(x_0, y_0)$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3,6}{2 \cdot 0,3} = -\frac{3,6}{0,6} = -6$.
$y_0 = 0,3(-6)^2 + 3,6(-6) + 11,3 = 0,3 \cdot 36 - 21,6 + 11,3 = 10,8 - 21,6 + 11,3 = 0,5$.
Вершина параболы находится в точке $(-6, 0,5)$.

Ответ: ветви направлены вверх, вершина в точке $(-6, 0,5)$.

4) $y = -3x^2 - 6x + 5$

Здесь коэффициенты: $a = -3$, $b = -6$, $c = 5$.
Так как $a = -3 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Найдем координаты вершины $(x_0, y_0)$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot (-3)} = -\frac{-6}{-6} = -1$.
$y_0 = -3(-1)^2 - 6(-1) + 5 = -3 \cdot 1 + 6 + 5 = -3 + 11 = 8$.
Вершина параболы находится в точке $(-1, 8)$.

Ответ: ветви направлены вниз, вершина в точке $(-1, 8)$.

90. Постройте график функции:

1) $y = x^2 + 4x + 3;$

2) $y = -x^2 - 2x + 3;$

3) $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x - 4;$

4) $y = -2x^2 - 4x - 2;$

5) $y = 3x - x^2;$

6) $y = 1 - x^2;$

7) $y = -0,1x^2 + 0,4x - 0,4;$

8) $y = x^2 - 4x + 5.$

Для построения графика каждой квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ (параболы) необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить направление ветвей параболы по знаку коэффициента $a$: если $a > 0$, ветви направлены вверх; если $a < 0$ — вниз.
2. Найти координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$, $y_0 = y(x_0)$.
3. Найти точки пересечения графика с осями координат:
   • с осью OY (абсцисса $x=0$): точка $(0, c)$.
   • с осью OX (ордината $y=0$): решить уравнение $ax^2 + bx + c = 0$.
4. При необходимости найти несколько дополнительных точек для более точного построения, используя ось симметрии $x=x_0$.

1) $y = x^2 + 4x + 3$

Это парабола с коэффициентами $a=1, b=4, c=3$.

1. Направление ветвей. Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины.

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.

$y_0 = y(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.

Вершина находится в точке $(-2, -1)$. Ось симметрии — прямая $x = -2$.

3. Точки пересечения с осями.

С осью OY: при $x=0$, $y=3$. Точка $(0, 3)$.

С осью OX: $x^2 + 4x + 3 = 0$. По теореме Виета корни $x_1 = -1$, $x_2 = -3$. Точки $(-1, 0)$ и $(-3, 0)$.

4. Построение. Отметим вершину $(-2, -1)$, точки пересечения с осями $(-1, 0)$, $(-3, 0)$, $(0, 3)$ и соединим их плавной кривой.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(-2, -1)$, ветвями вверх, пересекающая ось OX в точках $(-3, 0)$ и $(-1, 0)$ и ось OY в точке $(0, 3)$.

2) $y = -x^2 - 2x + 3$

Это парабола с коэффициентами $a=-1, b=-2, c=3$.

1. Направление ветвей. Так как $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины.

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1$.

$y_0 = y(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$.

Вершина находится в точке $(-1, 4)$. Ось симметрии — прямая $x = -1$.

3. Точки пересечения с осями.

С осью OY: при $x=0$, $y=3$. Точка $(0, 3)$.

С осью OX: $-x^2 - 2x + 3 = 0 \implies x^2 + 2x - 3 = 0$. Корни $x_1 = 1$, $x_2 = -3$. Точки $(1, 0)$ и $(-3, 0)$.

4. Построение. Отметим вершину $(-1, 4)$, точки пересечения с осями $(1, 0)$, $(-3, 0)$, $(0, 3)$ и соединим их плавной кривой.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(-1, 4)$, ветвями вниз, пересекающая ось OX в точках $(-3, 0)$ и $(1, 0)$ и ось OY в точке $(0, 3)$.

3) $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x - 4$

Это парабола с коэффициентами $a=\frac{1}{2}, b=-2, c=-4$.

1. Направление ветвей. Так как $a = \frac{1}{2} > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины.

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 2$.

$y_0 = y(2) = \frac{1}{2}(2)^2 - 2(2) - 4 = 2 - 4 - 4 = -6$.

Вершина находится в точке $(2, -6)$. Ось симметрии — прямая $x = 2$.

3. Точки пересечения с осями.

С осью OY: при $x=0$, $y=-4$. Точка $(0, -4)$.

С осью OX: $\frac{1}{2}x^2 - 2x - 4 = 0 \implies x^2 - 4x - 8 = 0$.

$D = (-4)^2 - 4(1)(-8) = 16 + 32 = 48$, $\sqrt{D} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$.

$x_{1,2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}$. Точки $(2 - 2\sqrt{3}, 0)$ и $(2 + 2\sqrt{3}, 0)$.

4. Построение. Отметим вершину $(2, -6)$, точки пересечения с осями $(0, -4)$, $(2 - 2\sqrt{3}, 0) \approx (-1.5, 0)$ и $(2 + 2\sqrt{3}, 0) \approx (5.5, 0)$ и соединим их плавной кривой.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(2, -6)$, ветвями вверх, пересекающая ось OY в точке $(0, -4)$ и ось OX в точках $(2 - 2\sqrt{3}, 0)$ и $(2 + 2\sqrt{3}, 0)$.

4) $y = -2x^2 - 4x - 2$

Это парабола с коэффициентами $a=-2, b=-4, c=-2$. Вынесем общий множитель: $y = -2(x^2 + 2x + 1) = -2(x+1)^2$.

1. Направление ветвей. Так как $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины. Из вида $y = a(x-x_0)^2 + y_0$ вершина — $(-1, 0)$.

Ось симметрии — прямая $x = -1$.

3. Точки пересечения с осями.

С осью OY: при $x=0$, $y = -2(0+1)^2 = -2$. Точка $(0, -2)$.

С осью OX: $-2(x+1)^2 = 0 \implies x = -1$. Точка $(-1, 0)$ (вершина лежит на оси OX).

4. Построение. Отметим вершину $(-1, 0)$, точку $(0, -2)$ и симметричную ей точку $(-2, -2)$ и соединим их плавной кривой.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(-1, 0)$, ветвями вниз, касающаяся оси OX в своей вершине и пересекающая ось OY в точке $(0, -2)$.

5) $y = 3x - x^2$

Это парабола $y = -x^2 + 3x$ с коэффициентами $a=-1, b=3, c=0$.

1. Направление ветвей. Так как $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины.

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot (-1)} = 1.5$.

$y_0 = y(1.5) = 3(1.5) - (1.5)^2 = 4.5 - 2.25 = 2.25$.

Вершина находится в точке $(1.5, 2.25)$. Ось симметрии — прямая $x = 1.5$.

3. Точки пересечения с осями.

С осью OY: при $x=0$, $y=0$. Точка $(0, 0)$.

С осью OX: $3x - x^2 = 0 \implies x(3-x)=0$. Корни $x_1 = 0$, $x_2 = 3$. Точки $(0, 0)$ и $(3, 0)$.

4. Построение. Отметим вершину $(1.5, 2.25)$, точки $(0, 0)$ и $(3, 0)$ и соединим их плавной кривой.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(1.5, 2.25)$, ветвями вниз, проходящая через начало координат и точку $(3, 0)$.

6) $y = 1 - x^2$

Это парабола $y = -x^2 + 1$ с коэффициентами $a=-1, b=0, c=1$.

1. Направление ветвей. Так как $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины.

$x_0 = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$.

$y_0 = y(0) = 1 - 0^2 = 1$.

Вершина находится в точке $(0, 1)$. Ось симметрии — ось OY.

3. Точки пересечения с осями.

С осью OY: точка $(0, 1)$ (вершина).

С осью OX: $1 - x^2 = 0 \implies x^2=1$. Корни $x_1 = -1$, $x_2 = 1$. Точки $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

4. Построение. Отметим вершину $(0, 1)$, точки $(-1, 0)$ и $(1, 0)$ и соединим их плавной кривой.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(0, 1)$, ветвями вниз, пересекающая ось OX в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

7) $y = -0.1x^2 + 0.4x - 0.4$

Это парабола с коэффициентами $a=-0.1, b=0.4, c=-0.4$. Вынесем общий множитель: $y = -0.1(x^2 - 4x + 4) = -0.1(x-2)^2$.

1. Направление ветвей. Так как $a = -0.1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины. Из вида $y = a(x-x_0)^2 + y_0$ вершина — $(2, 0)$.

Ось симметрии — прямая $x = 2$.

3. Точки пересечения с осями.

С осью OY: при $x=0$, $y = -0.1(0-2)^2 = -0.4$. Точка $(0, -0.4)$.

С осью OX: $-0.1(x-2)^2 = 0 \implies x=2$. Точка $(2, 0)$ (вершина).

4. Построение. Отметим вершину $(2, 0)$, точку $(0, -0.4)$ и симметричную ей точку $(4, -0.4)$ и соединим их плавной кривой.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(2, 0)$, ветвями вниз, касающаяся оси OX в своей вершине и пересекающая ось OY в точке $(0, -0.4)$.

8) $y = x^2 - 4x + 5$

Это парабола с коэффициентами $a=1, b=-4, c=5$.

1. Направление ветвей. Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины.

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

$y_0 = y(2) = (2)^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$.

Вершина находится в точке $(2, 1)$. Ось симметрии — прямая $x = 2$.

3. Точки пересечения с осями.

С осью OY: при $x=0$, $y=5$. Точка $(0, 5)$.

С осью OX: $x^2 - 4x + 5 = 0$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$. Так как $D < 0$, действительных корней нет, и парабола не пересекает ось OX.

4. Дополнительные точки. Точка, симметричная $(0, 5)$ относительно оси $x=2$, — это точка $(4, 5)$. Для $x=1$, $y = 1^2 - 4(1) + 5 = 2$. Точка $(1, 2)$. Симметричная ей точка $(3, 2)$.

5. Построение. Отметим вершину $(2, 1)$ и точки $(0, 5)$, $(4, 5)$, $(1, 2)$, $(3, 2)$ и соединим их плавной кривой.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(2, 1)$, ветвями вверх, не пересекающая ось OX и проходящая через точку $(0, 5)$.

91. Постройте график функции $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Используя график, найдите:

1) наибольшее и наименьшее значения функции;

2) область значений функции;

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

4) множество решений неравенства $f(x) > 0; f(x) \le 0$.

Для построения графика функции $f(x) = x^2 - 4x + 3$ найдем основные характеристики параболы.

1. Это квадратичная функция, график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$

$y_0 = f(x_0) = f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$

Вершина находится в точке $(2, -1)$.

3. Найдем точки пересечения с осями координат:

• С осью OY ($x=0$): $f(0) = 0^2 - 4(0) + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$.
• С осью OX ($y=0$): $x^2 - 4x + 3 = 0$. Решая квадратное уравнение (например, по теореме Виета), находим корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Точки $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

4. Для более точного построения найдем еще одну точку, симметричную точке $(0, 3)$ относительно оси симметрии параболы $x=2$. Это будет точка с абсциссой $x=4$: $f(4) = 4^2 - 4(4) + 3 = 16 - 16 + 3 = 3$. Точка $(4, 3)$.

Построив график по точкам $(2, -1)$, $(0, 3)$, $(1, 0)$, $(3, 0)$ и $(4, 3)$, проанализируем его.

1) наибольшее и наименьшее значения функции

Так как ветви параболы направлены вверх, ее вершина $(2, -1)$ является точкой минимума. Следовательно, наименьшее значение функции равно -1. Поскольку ветви уходят вверх в бесконечность, наибольшего значения у функции не существует.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -1$; наибольшего значения не существует.

2) область значений функции

Область значений — это все возможные значения, которые принимает функция. Глядя на график, видим, что самая низкая точка имеет ординату -1, а вверх график простирается неограниченно. Таким образом, функция принимает все значения от -1 включительно и выше.

Ответ: $E(f) = [-1; +\infty)$.

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции

Функция убывает на промежутке, где ее график идет вниз при движении слева направо, и возрастает, где график идет вверх. Точка изменения поведения — вершина параболы с абсциссой $x=2$.

• Функция убывает слева от вершины, то есть при $x \in (-\infty, 2]$.
• Функция возрастает справа от вершины, то есть при $x \in [2, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[2; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 2]$.

4) множество решений неравенства $f(x) > 0$; $f(x) \le 0$

Для решения неравенств посмотрим, на каких интервалах график функции находится выше или ниже оси ОХ.

• $f(x) > 0$: график находится выше оси ОХ. Это происходит на интервалах, которые лежат левее корня $x=1$ и правее корня $x=3$.
• $f(x) \le 0$: график находится ниже или на оси ОХ. Это происходит на отрезке между корнями $x=1$ и $x=3$, включая сами корни.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$; $f(x) \le 0$ при $x \in [1; 3]$.

92. Постройте график функции $f(x) = 6x - 3x^2$. Используя график, найдите:

1) наибольшее и наименьшее значения функции;

2) область значений функции;

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

4) множество решений неравенства $f(x) > 0; f(x) \le 0$.

Для построения графика функции $f(x) = 6x - 3x^2$ и его анализа, выполним следующие шаги:

1. Определение вида графика.

Функция $f(x) = -3x^2 + 6x$ является квадратичной. Её график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-3$ (отрицательное число), ветви параболы направлены вниз.

2. Нахождение вершины параболы.

Координаты вершины $(x_v, y_v)$ вычисляются по формулам:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-3)} = -\frac{6}{-6} = 1$.

$y_v = f(x_v) = f(1) = 6(1) - 3(1)^2 = 6 - 3 = 3$.

Следовательно, вершина параболы находится в точке $(1, 3)$.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy (при $x=0$):

$f(0) = 6(0) - 3(0)^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.

Пересечение с осью Ox (нули функции, при $f(x)=0$):

$6x - 3x^2 = 0$

$3x(2 - x) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Точки $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

4. Построение графика.

Используя вершину $(1, 3)$ и точки пересечения с осями $(0, 0)$ и $(2, 0)$, строим параболу.

Теперь, анализируя график, ответим на вопросы.

1) наибольшее и наименьшее значения функции;

График представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз. Самая высокая точка графика — это его вершина. Следовательно, наибольшее значение функции равно ординате вершины.

$y_{max} = 3$.

Поскольку ветви параболы уходят вниз в бесконечность, наименьшего значения у функции не существует.

Ответ: наибольшее значение функции равно 3; наименьшего значения не существует.

2) область значений функции;

Область значений — это множество всех возможных значений, которые принимает функция. Так как максимальное значение функции равно 3, а ветви уходят в минус бесконечность, то функция принимает все значения от $-\infty$ до 3 включительно.

Ответ: $E(f) = (-\infty, 3]$.

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

Функция возрастает (график идет вверх) на промежутке от $-\infty$ до абсциссы вершины. Функция убывает (график идет вниз) на промежутке от абсциссы вершины до $+\infty$.

Абсцисса вершины $x_v = 1$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$; функция убывает на промежутке $[1, \infty)$.

4) множество решений неравенства $f(x) > 0; f(x) \le 0$.

Неравенство $f(x) > 0$ соответствует тем значениям $x$, при которых график функции находится выше оси Ox. Это происходит между корнями функции, то есть между $x=0$ и $x=2$.

Неравенство $f(x) \le 0$ соответствует тем значениям $x$, при которых график функции находится ниже или на оси Ox. Это происходит левее корня $x=0$ (включая его) и правее корня $x=2$ (включая его).

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (0, 2)$; $f(x) \le 0$ при $x \in (-\infty, 0] \cup [2, \infty)$.