Номер 86, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

86. Постройте график функции $y = \sqrt{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x + 2}$;

2) $y = \sqrt{x + 3}$;

3) $y = 2 + \sqrt{x - 1}$.

Для построения заданных графиков функций, сначала рассмотрим базовую функцию $y = \sqrt{x}$. График этой функции — ветвь параболы, выходящая из начала координат и расположенная в первой координатной четверти. Область определения: $x \ge 0$.

Для построения графиков остальных функций будем использовать метод геометрических преобразований (сдвигов) графика функции $y = \sqrt{x}$.

1) $y = \sqrt{x} + 2$

График функции вида $y = f(x) + c$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (Oy) на $c$ единиц. Если $c > 0$, сдвиг происходит вверх, если $c < 0$ — вниз.

В данном случае $c=2$, поэтому для построения графика функции $y = \sqrt{x} + 2$ необходимо сдвинуть график функции $y = \sqrt{x}$ на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Начало графика, точка $(0,0)$, переместится в точку $(0,2)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x} + 2$ получается путем сдвига графика $y = \sqrt{x}$ на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

2) $y = \sqrt{x + 3}$

График функции вида $y = f(x+c)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (Ox) на $c$ единиц. Если $c > 0$, сдвиг происходит влево, если $c < 0$ — вправо.

В данном случае $c=3$, поэтому для построения графика функции $y = \sqrt{x+3}$ необходимо сдвинуть график функции $y = \sqrt{x}$ на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Начало графика, точка $(0,0)$, переместится в точку $(-3,0)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x+3}$ получается путем сдвига графика $y = \sqrt{x}$ на 3 единицы влево вдоль оси Ox.

3) $y = 2 + \sqrt{x - 1}$

Данное преобразование является комбинацией двух сдвигов. Запишем функцию в виде $y = \sqrt{x-1} + 2$.

Сначала выполним сдвиг по оси Ox. Аргумент $x-1$ означает, что график функции $y = \sqrt{x}$ нужно сдвинуть на 1 единицу вправо. Получим промежуточный график функции $y = \sqrt{x-1}$.

Затем выполним сдвиг по оси Oy. Прибавление 2 к функции означает, что промежуточный график $y = \sqrt{x-1}$ нужно сдвинуть на 2 единицы вверх.

Таким образом, график функции $y = 2 + \sqrt{x-1}$ получается путем сдвига графика $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox и на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Начало графика, точка $(0,0)$, переместится в точку $(1,2)$.

Ответ: График функции $y = 2 + \sqrt{x - 1}$ получается путем сдвига графика $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox и на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.