Номер 93, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

93. Построив в одной системе координат графики функций $y = \frac{12}{x}$ и $y = -x^2 - x + 6$, определите количество корней уравнения $-x^2 - x + 6 = \frac{12}{x}$.

Количество корней уравнения $-x^2 - x + 6 = \frac{12}{x}$ равно количеству точек пересечения графиков функций $y = -x^2 - x + 6$ и $y = \frac{12}{x}$. Для решения задачи построим эти графики в одной системе координат.

1. Построение графика функции $y = \frac{12}{x}$

Графиком этой функции является гипербола. Так как коэффициент $12 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Область определения функции: $x \neq 0$.

Составим таблицу значений для построения графика:

При $x = 2, y = 6$;
При $x = 3, y = 4$;
При $x = 4, y = 3$;
При $x = 6, y = 2$;
При $x = -2, y = -6$;
При $x = -3, y = -4$;
При $x = -4, y = -3$;
При $x = -6, y = -2$.

2. Построение графика функции $y = -x^2 - x + 6$

Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательный), ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2(-1)} = -0.5$

$y_0 = -(-0.5)^2 - (-0.5) + 6 = -0.25 + 0.5 + 6 = 6.25$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-0.5; 6.25)$.

Найдем точки пересечения параболы с осями координат:

• С осью OY (при $x=0$): $y = -0^2 - 0 + 6 = 6$. Точка пересечения: $(0; 6)$.
• С осью OX (при $y=0$): $-x^2 - x + 6 = 0$. Умножим на -1: $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$. Точки пересечения: $(2; 0)$ и $(-3; 0)$.

3. Определение количества корней уравнения

Построим графики функций $y = \frac{12}{x}$ и $y = -x^2 - x + 6$ в одной системе координат, используя найденные точки.

При построении видно, что графики пересекаются только в одной точке. Эта точка расположена в III координатной четверти, ее абсцисса (x-координата) находится в интервале между -4 и -3.

Поскольку количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графиков, данное уравнение имеет один корень.

Ответ: 1.