Номер 95, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

95. Найдите область значений и промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = 2x^2 - 8x + 1$;

2) $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + x - 2$;

3) $f(x) = 17 - 16x - 0,2x^2$;

4) $f(x) = 5x^2 + 8x$.

1) $f(x) = 2x^2 - 8x + 1$
Данная функция является квадратичной ($f(x) = ax^2 + bx + c$), её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх, а вершина параболы является точкой минимума функции.
Для нахождения области значений и промежутков монотонности найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.
Абсцисса вершины находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:
$x_v = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.
Ордината вершины находится подстановкой $x_v$ в функцию $y_v = f(x_v)$:
$y_v = f(2) = 2 \cdot 2^2 - 8 \cdot 2 + 1 = 8 - 16 + 1 = -7$.
Вершина параболы находится в точке $(2, -7)$.
Область значений: поскольку ветви параболы направлены вверх, минимальное значение функции равно ординате вершины $y_v = -7$. Таким образом, область значений функции — это промежуток от $-7$ (включительно) до $+\infty$.
$E(f) = [-7, +\infty)$.
Промежутки возрастания и убывания: функция убывает на промежутке слева от вершины (от $-\infty$ до $x_v$) и возрастает на промежутке справа от вершины (от $x_v$ до $+\infty$).
Промежуток убывания: $(-\infty, 2]$.
Промежуток возрастания: $[2, +\infty)$.
Ответ: область значений $E(f) = [-7, +\infty)$; функция возрастает на промежутке $[2, +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty, 2]$.

2) $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + x - 2$
Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент $a = -\frac{1}{3} < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз, а вершина является точкой максимума.
Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-\frac{1}{3})} = -\frac{1}{-\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} = 1.5$.
$y_v = f(\frac{3}{2}) = -\frac{1}{3}(\frac{3}{2})^2 + \frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{4} + \frac{3}{2} - 2 = -\frac{3}{4} + \frac{6}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{5}{4} = -1.25$.
Вершина параболы находится в точке $(\frac{3}{2}, -\frac{5}{4})$.
Область значений: так как ветви параболы направлены вниз, максимальное значение функции равно $y_v = -\frac{5}{4}$. Область значений — промежуток от $-\infty$ до $-\frac{5}{4}$ (включительно).
$E(f) = (-\infty, -\frac{5}{4}]$.
Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает слева от вершины и убывает справа от нее.
Промежуток возрастания: $(-\infty, \frac{3}{2}]$.
Промежуток убывания: $[\frac{3}{2}, +\infty)$.
Ответ: область значений $E(f) = (-\infty, -\frac{5}{4}]$; функция возрастает на промежутке $(-\infty, \frac{3}{2}]$ и убывает на промежутке $[\frac{3}{2}, +\infty)$.

3) $f(x) = 17 - 16x - 0.2x^2$
Запишем функцию в стандартном виде: $f(x) = -0.2x^2 - 16x + 17$. Это квадратичная функция. Коэффициент $a = -0.2 < 0$, ветви параболы направлены вниз, вершина является точкой максимума.
Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-16}{2 \cdot (-0.2)} = \frac{16}{-0.4} = -40$.
$y_v = f(-40) = -0.2(-40)^2 - 16(-40) + 17 = -0.2 \cdot 1600 + 640 + 17 = -320 + 640 + 17 = 337$.
Вершина параболы находится в точке $(-40, 337)$.
Область значений: так как вершина является точкой максимума, область значений функции — от $-\infty$ до $y_v=337$ включительно.
$E(f) = (-\infty, 337]$.
Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает слева от вершины и убывает справа.
Промежуток возрастания: $(-\infty, -40]$.
Промежуток убывания: $[-40, +\infty)$.
Ответ: область значений $E(f) = (-\infty, 337]$; функция возрастает на промежутке $(-\infty, -40]$ и убывает на промежутке $[-40, +\infty)$.

4) $f(x) = 5x^2 + 8x$
Это квадратичная функция. Коэффициент $a = 5 > 0$, ветви параболы направлены вверх, вершина является точкой минимума.
Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 5} = -\frac{8}{10} = -0.8$.
$y_v = f(-0.8) = 5(-0.8)^2 + 8(-0.8) = 5(0.64) - 6.4 = 3.2 - 6.4 = -3.2$.
Вершина параболы находится в точке $(-0.8, -3.2)$.
Область значений: так как вершина является точкой минимума, область значений — от $y_v = -3.2$ включительно до $+\infty$.
$E(f) = [-3.2, +\infty)$.
Промежутки возрастания и убывания: функция убывает слева от вершины и возрастает справа.
Промежуток убывания: $(-\infty, -0.8]$.
Промежуток возрастания: $[-0.8, +\infty)$.
Ответ: область значений $E(f) = [-3.2, +\infty)$; функция возрастает на промежутке $[-0.8, +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty, -0.8]$.