Номер 98, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

98. Найдите наибольшее значение функции $y = -2x^2 + 12x + 3$ на промежутке:

1) [0; 2];

2) [2,5; 4];

3) [5; 12].

Для нахождения наибольшего значения функции $y = -2x^2 + 12x + 3$ на заданных промежутках, сначала определим общие свойства этой функции.

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-2$, он отрицательный, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что в своей вершине функция достигает максимального значения.

Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_в = -b / (2a)$.

В нашем случае $a = -2$, $b = 12$.

$x_в = -12 / (2 \cdot (-2)) = -12 / (-4) = 3$.

Наибольшее значение функции на всей числовой прямой достигается в точке $x = 3$. Найдем это значение, подставив $x_в$ в уравнение функции:

$y_в = y(3) = -2(3)^2 + 12(3) + 3 = -2 \cdot 9 + 36 + 3 = -18 + 36 + 3 = 21$.

Теперь рассмотрим каждый промежуток отдельно. Наибольшее значение на отрезке достигается либо в вершине параболы, если она принадлежит этому отрезку, либо на одном из его концов.

1) [0; 2]

Абсцисса вершины $x_в = 3$ не принадлежит промежутку $[0; 2]$. Поскольку $x_в = 3 > 2$, на всем отрезке $[0; 2]$ функция монотонно возрастает (так как отрезок находится левее вершины). Следовательно, наибольшее значение будет достигаться на правом конце отрезка, в точке $x=2$.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

$y(0) = -2(0)^2 + 12(0) + 3 = 3$

$y(2) = -2(2)^2 + 12(2) + 3 = -2 \cdot 4 + 24 + 3 = -8 + 24 + 3 = 19$

Наибольшее значение функции на промежутке $[0; 2]$ равно 19.

Ответ: 19

2) [2,5; 4]

Абсцисса вершины $x_в = 3$ принадлежит промежутку $[2,5; 4]$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, именно в этой точке функция достигает своего наибольшего значения.

Наибольшее значение функции на данном промежутке равно значению в вершине:

$y_{наиб} = y(3) = 21$.

Для проверки можно вычислить значения на концах отрезка:

$y(2,5) = -2(2,5)^2 + 12(2,5) + 3 = -2 \cdot 6,25 + 30 + 3 = -12,5 + 33 = 20,5$

$y(4) = -2(4)^2 + 12(4) + 3 = -2 \cdot 16 + 48 + 3 = -32 + 51 = 19$

Сравнивая значения, видим, что $21$ является наибольшим.

Ответ: 21

3) [5; 12]

Абсцисса вершины $x_в = 3$ не принадлежит промежутку $[5; 12]$. Поскольку $x_в = 3 < 5$, на всем отрезке $[5; 12]$ функция монотонно убывает (так как отрезок находится правее вершины). Следовательно, наибольшее значение будет достигаться на левом конце отрезка, в точке $x=5$.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

$y(5) = -2(5)^2 + 12(5) + 3 = -2 \cdot 25 + 60 + 3 = -50 + 63 = 13$

$y(12) = -2(12)^2 + 12(12) + 3 = -2 \cdot 144 + 144 + 3 = -288 + 147 = -141$

Наибольшее значение функции на промежутке $[5; 12]$ равно 13.

Ответ: 13