Номер 91, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

91. Постройте график функции $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Используя график, найдите:

1) наибольшее и наименьшее значения функции;

2) область значений функции;

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

4) множество решений неравенства $f(x) > 0; f(x) \le 0$.

Для построения графика функции $f(x) = x^2 - 4x + 3$ найдем основные характеристики параболы.

1. Это квадратичная функция, график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$

$y_0 = f(x_0) = f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$

Вершина находится в точке $(2, -1)$.

3. Найдем точки пересечения с осями координат:

• С осью OY ($x=0$): $f(0) = 0^2 - 4(0) + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$.
• С осью OX ($y=0$): $x^2 - 4x + 3 = 0$. Решая квадратное уравнение (например, по теореме Виета), находим корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Точки $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

4. Для более точного построения найдем еще одну точку, симметричную точке $(0, 3)$ относительно оси симметрии параболы $x=2$. Это будет точка с абсциссой $x=4$: $f(4) = 4^2 - 4(4) + 3 = 16 - 16 + 3 = 3$. Точка $(4, 3)$.

Построив график по точкам $(2, -1)$, $(0, 3)$, $(1, 0)$, $(3, 0)$ и $(4, 3)$, проанализируем его.

1) наибольшее и наименьшее значения функции

Так как ветви параболы направлены вверх, ее вершина $(2, -1)$ является точкой минимума. Следовательно, наименьшее значение функции равно -1. Поскольку ветви уходят вверх в бесконечность, наибольшего значения у функции не существует.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -1$; наибольшего значения не существует.

2) область значений функции

Область значений — это все возможные значения, которые принимает функция. Глядя на график, видим, что самая низкая точка имеет ординату -1, а вверх график простирается неограниченно. Таким образом, функция принимает все значения от -1 включительно и выше.

Ответ: $E(f) = [-1; +\infty)$.

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции

Функция убывает на промежутке, где ее график идет вниз при движении слева направо, и возрастает, где график идет вверх. Точка изменения поведения — вершина параболы с абсциссой $x=2$.

• Функция убывает слева от вершины, то есть при $x \in (-\infty, 2]$.
• Функция возрастает справа от вершины, то есть при $x \in [2, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[2; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 2]$.

4) множество решений неравенства $f(x) > 0$; $f(x) \le 0$

Для решения неравенств посмотрим, на каких интервалах график функции находится выше или ниже оси ОХ.

• $f(x) > 0$: график находится выше оси ОХ. Это происходит на интервалах, которые лежат левее корня $x=1$ и правее корня $x=3$.
• $f(x) \le 0$: график находится ниже или на оси ОХ. Это происходит на отрезке между корнями $x=1$ и $x=3$, включая сами корни.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$; $f(x) \le 0$ при $x \in [1; 3]$.