Номер 90, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

90. Постройте график функции:

1) $y = x^2 + 4x + 3;$

2) $y = -x^2 - 2x + 3;$

3) $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x - 4;$

4) $y = -2x^2 - 4x - 2;$

5) $y = 3x - x^2;$

6) $y = 1 - x^2;$

7) $y = -0,1x^2 + 0,4x - 0,4;$

8) $y = x^2 - 4x + 5.$

Для построения графика каждой квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ (параболы) необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить направление ветвей параболы по знаку коэффициента $a$: если $a > 0$, ветви направлены вверх; если $a < 0$ — вниз.
2. Найти координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$, $y_0 = y(x_0)$.
3. Найти точки пересечения графика с осями координат:
   • с осью OY (абсцисса $x=0$): точка $(0, c)$.
   • с осью OX (ордината $y=0$): решить уравнение $ax^2 + bx + c = 0$.
4. При необходимости найти несколько дополнительных точек для более точного построения, используя ось симметрии $x=x_0$.

1) $y = x^2 + 4x + 3$

Это парабола с коэффициентами $a=1, b=4, c=3$.

1. Направление ветвей. Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины.

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.

$y_0 = y(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.

Вершина находится в точке $(-2, -1)$. Ось симметрии — прямая $x = -2$.

3. Точки пересечения с осями.

С осью OY: при $x=0$, $y=3$. Точка $(0, 3)$.

С осью OX: $x^2 + 4x + 3 = 0$. По теореме Виета корни $x_1 = -1$, $x_2 = -3$. Точки $(-1, 0)$ и $(-3, 0)$.

4. Построение. Отметим вершину $(-2, -1)$, точки пересечения с осями $(-1, 0)$, $(-3, 0)$, $(0, 3)$ и соединим их плавной кривой.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(-2, -1)$, ветвями вверх, пересекающая ось OX в точках $(-3, 0)$ и $(-1, 0)$ и ось OY в точке $(0, 3)$.

2) $y = -x^2 - 2x + 3$

Это парабола с коэффициентами $a=-1, b=-2, c=3$.

1. Направление ветвей. Так как $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины.

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1$.

$y_0 = y(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$.

Вершина находится в точке $(-1, 4)$. Ось симметрии — прямая $x = -1$.

3. Точки пересечения с осями.

С осью OY: при $x=0$, $y=3$. Точка $(0, 3)$.

С осью OX: $-x^2 - 2x + 3 = 0 \implies x^2 + 2x - 3 = 0$. Корни $x_1 = 1$, $x_2 = -3$. Точки $(1, 0)$ и $(-3, 0)$.

4. Построение. Отметим вершину $(-1, 4)$, точки пересечения с осями $(1, 0)$, $(-3, 0)$, $(0, 3)$ и соединим их плавной кривой.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(-1, 4)$, ветвями вниз, пересекающая ось OX в точках $(-3, 0)$ и $(1, 0)$ и ось OY в точке $(0, 3)$.

3) $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x - 4$

Это парабола с коэффициентами $a=\frac{1}{2}, b=-2, c=-4$.

1. Направление ветвей. Так как $a = \frac{1}{2} > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины.

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 2$.

$y_0 = y(2) = \frac{1}{2}(2)^2 - 2(2) - 4 = 2 - 4 - 4 = -6$.

Вершина находится в точке $(2, -6)$. Ось симметрии — прямая $x = 2$.

3. Точки пересечения с осями.

С осью OY: при $x=0$, $y=-4$. Точка $(0, -4)$.

С осью OX: $\frac{1}{2}x^2 - 2x - 4 = 0 \implies x^2 - 4x - 8 = 0$.

$D = (-4)^2 - 4(1)(-8) = 16 + 32 = 48$, $\sqrt{D} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$.

$x_{1,2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}$. Точки $(2 - 2\sqrt{3}, 0)$ и $(2 + 2\sqrt{3}, 0)$.

4. Построение. Отметим вершину $(2, -6)$, точки пересечения с осями $(0, -4)$, $(2 - 2\sqrt{3}, 0) \approx (-1.5, 0)$ и $(2 + 2\sqrt{3}, 0) \approx (5.5, 0)$ и соединим их плавной кривой.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(2, -6)$, ветвями вверх, пересекающая ось OY в точке $(0, -4)$ и ось OX в точках $(2 - 2\sqrt{3}, 0)$ и $(2 + 2\sqrt{3}, 0)$.

4) $y = -2x^2 - 4x - 2$

Это парабола с коэффициентами $a=-2, b=-4, c=-2$. Вынесем общий множитель: $y = -2(x^2 + 2x + 1) = -2(x+1)^2$.

1. Направление ветвей. Так как $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины. Из вида $y = a(x-x_0)^2 + y_0$ вершина — $(-1, 0)$.

Ось симметрии — прямая $x = -1$.

3. Точки пересечения с осями.

С осью OY: при $x=0$, $y = -2(0+1)^2 = -2$. Точка $(0, -2)$.

С осью OX: $-2(x+1)^2 = 0 \implies x = -1$. Точка $(-1, 0)$ (вершина лежит на оси OX).

4. Построение. Отметим вершину $(-1, 0)$, точку $(0, -2)$ и симметричную ей точку $(-2, -2)$ и соединим их плавной кривой.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(-1, 0)$, ветвями вниз, касающаяся оси OX в своей вершине и пересекающая ось OY в точке $(0, -2)$.

5) $y = 3x - x^2$

Это парабола $y = -x^2 + 3x$ с коэффициентами $a=-1, b=3, c=0$.

1. Направление ветвей. Так как $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины.

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot (-1)} = 1.5$.

$y_0 = y(1.5) = 3(1.5) - (1.5)^2 = 4.5 - 2.25 = 2.25$.

Вершина находится в точке $(1.5, 2.25)$. Ось симметрии — прямая $x = 1.5$.

3. Точки пересечения с осями.

С осью OY: при $x=0$, $y=0$. Точка $(0, 0)$.

С осью OX: $3x - x^2 = 0 \implies x(3-x)=0$. Корни $x_1 = 0$, $x_2 = 3$. Точки $(0, 0)$ и $(3, 0)$.

4. Построение. Отметим вершину $(1.5, 2.25)$, точки $(0, 0)$ и $(3, 0)$ и соединим их плавной кривой.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(1.5, 2.25)$, ветвями вниз, проходящая через начало координат и точку $(3, 0)$.

6) $y = 1 - x^2$

Это парабола $y = -x^2 + 1$ с коэффициентами $a=-1, b=0, c=1$.

1. Направление ветвей. Так как $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины.

$x_0 = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$.

$y_0 = y(0) = 1 - 0^2 = 1$.

Вершина находится в точке $(0, 1)$. Ось симметрии — ось OY.

3. Точки пересечения с осями.

С осью OY: точка $(0, 1)$ (вершина).

С осью OX: $1 - x^2 = 0 \implies x^2=1$. Корни $x_1 = -1$, $x_2 = 1$. Точки $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

4. Построение. Отметим вершину $(0, 1)$, точки $(-1, 0)$ и $(1, 0)$ и соединим их плавной кривой.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(0, 1)$, ветвями вниз, пересекающая ось OX в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

7) $y = -0.1x^2 + 0.4x - 0.4$

Это парабола с коэффициентами $a=-0.1, b=0.4, c=-0.4$. Вынесем общий множитель: $y = -0.1(x^2 - 4x + 4) = -0.1(x-2)^2$.

1. Направление ветвей. Так как $a = -0.1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины. Из вида $y = a(x-x_0)^2 + y_0$ вершина — $(2, 0)$.

Ось симметрии — прямая $x = 2$.

3. Точки пересечения с осями.

С осью OY: при $x=0$, $y = -0.1(0-2)^2 = -0.4$. Точка $(0, -0.4)$.

С осью OX: $-0.1(x-2)^2 = 0 \implies x=2$. Точка $(2, 0)$ (вершина).

4. Построение. Отметим вершину $(2, 0)$, точку $(0, -0.4)$ и симметричную ей точку $(4, -0.4)$ и соединим их плавной кривой.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(2, 0)$, ветвями вниз, касающаяся оси OX в своей вершине и пересекающая ось OY в точке $(0, -0.4)$.

8) $y = x^2 - 4x + 5$

Это парабола с коэффициентами $a=1, b=-4, c=5$.

1. Направление ветвей. Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины.

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

$y_0 = y(2) = (2)^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$.

Вершина находится в точке $(2, 1)$. Ось симметрии — прямая $x = 2$.

3. Точки пересечения с осями.

С осью OY: при $x=0$, $y=5$. Точка $(0, 5)$.

С осью OX: $x^2 - 4x + 5 = 0$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$. Так как $D < 0$, действительных корней нет, и парабола не пересекает ось OX.

4. Дополнительные точки. Точка, симметричная $(0, 5)$ относительно оси $x=2$, — это точка $(4, 5)$. Для $x=1$, $y = 1^2 - 4(1) + 5 = 2$. Точка $(1, 2)$. Симметричная ей точка $(3, 2)$.

5. Построение. Отметим вершину $(2, 1)$ и точки $(0, 5)$, $(4, 5)$, $(1, 2)$, $(3, 2)$ и соединим их плавной кривой.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(2, 1)$, ветвями вверх, не пересекающая ось OX и проходящая через точку $(0, 5)$.