Номер 94, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

94. Найдите координаты точки параболы $y = x^2 + 3x - 8$, у которой:

1) абсцисса и ордината равны;

2) сумма абсциссы и ординаты равна 4.

Дана парабола, заданная уравнением $y = x^2 + 3x - 8$.

1) абсцисса и ордината равны

Пусть координаты искомой точки будут $(x, y)$. Условие, что абсцисса и ордината равны, означает, что $y = x$.
Чтобы найти координаты точки, которая принадлежит параболе и удовлетворяет этому условию, нужно решить систему уравнений:$$\begin{cases}y = x^2 + 3x - 8 \\y = x\end{cases}$$Приравняем правые части уравнений:$$x = x^2 + 3x - 8$$Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:$$x^2 + 3x - x - 8 = 0$$$$x^2 + 2x - 8 = 0$$Решим это уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.$$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2$$Найдем корни уравнения:$$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = -4$$$$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = 2$$Так как по условию $y = x$, найдем соответствующие ординаты:
При $x_1 = -4$, $y_1 = -4$. Координаты первой точки: $(-4, -4)$.
При $x_2 = 2$, $y_2 = 2$. Координаты второй точки: $(2, 2)$.
Ответ: $(-4, -4)$ и $(2, 2)$.

2) сумма абсциссы и ординаты равна 4

Пусть координаты искомой точки будут $(x, y)$. Условие, что сумма абсциссы и ординаты равна 4, означает, что $x + y = 4$.
Выразим $y$ из этого условия: $y = 4 - x$.
Теперь решим систему уравнений:$$\begin{cases}y = x^2 + 3x - 8 \\y = 4 - x\end{cases}$$Приравняем правые части уравнений:$$4 - x = x^2 + 3x - 8$$Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:$$x^2 + 3x + x - 8 - 4 = 0$$$$x^2 + 4x - 12 = 0$$Решим это уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.$$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 = 8^2$$Найдем корни уравнения:$$x_1 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 8}{2} = -6$$$$x_2 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 8}{2} = 2$$Теперь найдем соответствующие ординаты, используя формулу $y = 4 - x$:
При $x_1 = -6$, $y_1 = 4 - (-6) = 4 + 6 = 10$. Координаты первой точки: $(-6, 10)$.
При $x_2 = 2$, $y_2 = 4 - 2 = 2$. Координаты второй точки: $(2, 2)$.
Ответ: $(-6, 10)$ и $(2, 2)$.