Номер 88, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

88. Постройте график функции $y = \frac{6}{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = \frac{6}{x} + 2$;

2) $y = \frac{6}{x + 2}$;

3) $y = \frac{6}{x - 1} - 1$;

4) $y = \frac{x + 6}{x}$;

5) $y = \frac{2x - 2}{x + 2}$.

Для построения графиков заданных функций сначала необходимо построить график базовой функции $y = \frac{6}{x}$.

Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox). Для точности построения можно найти несколько точек, принадлежащих графику:

• (1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)
• (-1, -6), (-2, -3), (-3, -2), (-6, -1)

Используя этот базовый график, построим остальные графики с помощью геометрических преобразований.

1) $y = \frac{6}{x} + 2$

График этой функции получается из графика функции $y = \frac{6}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) всего графика вдоль оси Oy на 2 единицы вверх. Вертикальная асимптота остается прежней: $x=0$. Горизонтальная асимптота смещается на 2 единицы вверх и становится $y=2$.

Ответ: График функции $y = \frac{6}{x}$ сдвигается на 2 единицы вверх.

2) $y = \frac{6}{x+2}$

График этой функции получается из графика функции $y = \frac{6}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) всего графика вдоль оси Ox на 2 единицы влево. Горизонтальная асимптота остается прежней: $y=0$. Вертикальная асимптота смещается на 2 единицы влево и становится $x=-2$.

Ответ: График функции $y = \frac{6}{x}$ сдвигается на 2 единицы влево.

3) $y = \frac{6}{x-1} - 1$

График этой функции получается из графика функции $y = \frac{6}{x}$ двумя последовательными сдвигами: на 1 единицу вправо вдоль оси Ox и на 1 единицу вниз вдоль оси Oy. Новые асимптоты: вертикальная $x=1$ и горизонтальная $y=-1$.

Ответ: График функции $y = \frac{6}{x}$ сдвигается на 1 единицу вправо и на 1 единицу вниз.

4) $y = \frac{x+6}{x}$

Преобразуем функцию, выделив целую часть: $y = \frac{x}{x} + \frac{6}{x} = 1 + \frac{6}{x}$. График этой функции получается из графика функции $y = \frac{6}{x}$ путем сдвига вдоль оси Oy на 1 единицу вверх. Вертикальная асимптота остается $x=0$, а горизонтальная асимптота становится $y=1$.

Ответ: График функции $y = \frac{6}{x}$ сдвигается на 1 единицу вверх.

5) $y = \frac{2x-2}{x+2}$

Преобразуем функцию, выделив целую часть дроби: $y = \frac{2x-2}{x+2} = \frac{2(x+2) - 4 - 2}{x+2} = \frac{2(x+2) - 6}{x+2} = 2 - \frac{6}{x+2}$.

График этой функции получается из графика $y = \frac{6}{x}$ следующими преобразованиями: сначала выполняется симметричное отражение относительно оси Ox (получаем график $y = -\frac{6}{x}$), затем сдвиг на 2 единицы влево вдоль оси Ox (получаем $y = -\frac{6}{x+2}$), и, наконец, сдвиг на 2 единицы вверх вдоль оси Oy (получаем итоговый график). Новые асимптоты: вертикальная $x=-2$ и горизонтальная $y=2$.

Ответ: График функции $y = \frac{6}{x}$ отражается симметрично относительно оси Ox, затем сдвигается на 2 единицы влево и на 2 единицы вверх.