Номер 84, страница 53 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

84. Постройте график функции $y = -x^2$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = -x^2 - 1$;

2) $y = 3 - x^2$;

3) $y = -(x + 1)^2 - 2$.

Для построения графиков заданных функций сначала построим базовый график функции $y = -x^2$.

График функции $y = -x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, точке $(0, 0)$. Поскольку коэффициент при $x^2$ отрицательный, ветви параболы направлены вниз. Для точности построения найдём несколько точек, принадлежащих графику:

• Если $x = 0$, то $y = -0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• Если $x = 1$, то $y = -1^2 = -1$. Точка $(1, -1)$.
• Если $x = -1$, то $y = -(-1)^2 = -1$. Точка $(-1, -1)$.
• Если $x = 2$, то $y = -2^2 = -4$. Точка $(2, -4)$.
• Если $x = -2$, то $y = -(-2)^2 = -4$. Точка $(-2, -4)$.

Теперь, используя этот базовый график, построим остальные графики с помощью преобразований (сдвигов).

1) $y = -x^2 - 1$;

Чтобы получить график функции $y = -x^2 - 1$, необходимо график функции $y = -x^2$ сдвинуть на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$. Каждая точка графика $y = -x^2$ смещается на 1 единицу вниз. Вершина параболы из точки $(0, 0)$ перемещается в точку $(0, -1)$.

Ответ: График функции $y = -x^2 - 1$ — это парабола, полученная сдвигом параболы $y = -x^2$ на 1 единицу вниз. Её вершина находится в точке $(0, -1)$, ветви направлены вниз.

2) $y = 3 - x^2$;

Перепишем функцию в виде $y = -x^2 + 3$. Чтобы получить график этой функции, необходимо график функции $y = -x^2$ сдвинуть на 3 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Каждая точка графика $y = -x^2$ смещается на 3 единицы вверх. Вершина параболы из точки $(0, 0)$ перемещается в точку $(0, 3)$.

Ответ: График функции $y = 3 - x^2$ — это парабола, полученная сдвигом параболы $y = -x^2$ на 3 единицы вверх. Её вершина находится в точке $(0, 3)$, ветви направлены вниз.

3) $y = -(x + 1)^2 - 2$.

Чтобы получить график функции $y = -(x + 1)^2 - 2$, необходимо выполнить два преобразования графика $y = -x^2$:

1. Сдвинуть его на 1 единицу влево вдоль оси $Ox$ (поскольку в скобках $x+1$).
2. Сдвинуть его на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$ (из-за вычитания 2).

Таким образом, вершина параболы из точки $(0, 0)$ перемещается в точку $(-1, -2)$.

Ответ: График функции $y = -(x + 1)^2 - 2$ — это парабола, полученная сдвигом параболы $y = -x^2$ на 1 единицу влево и на 2 единицы вниз. Её вершина находится в точке $(-1, -2)$, ветви направлены вниз.