Номер 89, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

89. Определите направление ветвей и координаты вершины параболы:

1) $y = x^2 + 8x - 3$

2) $y = -x^2 - x + 2$

3) $y = 0,3x^2 + 3,6x + 11,3$

4) $y = -3x^2 - 6x + 5$

Для определения направления ветвей и координат вершины параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, воспользуемся следующими правилами:

1. Направление ветвей зависит от знака коэффициента $a$:
- если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх;
- если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины $(x_0, y_0)$ вычисляются по формулам:
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
Ордината вершины: $y_0$ находится подстановкой значения $x_0$ в исходное уравнение параболы, то есть $y_0 = ax_0^2 + bx_0 + c$.

1) $y = x^2 + 8x - 3$

Здесь коэффициенты: $a = 1$, $b = 8$, $c = -3$.
Так как $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Найдем координаты вершины $(x_0, y_0)$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 1} = -4$.
$y_0 = (-4)^2 + 8(-4) - 3 = 16 - 32 - 3 = -19$.
Вершина параболы находится в точке $(-4, -19)$.

Ответ: ветви направлены вверх, вершина в точке $(-4, -19)$.

2) $y = -x^2 - x + 2$

Здесь коэффициенты: $a = -1$, $b = -1$, $c = 2$.
Так как $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Найдем координаты вершины $(x_0, y_0)$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot (-1)} = -\frac{1}{2} = -0,5$.
$y_0 = -(-0,5)^2 - (-0,5) + 2 = -0,25 + 0,5 + 2 = 2,25$.
Вершина параболы находится в точке $(-0,5; 2,25)$.

Ответ: ветви направлены вниз, вершина в точке $(-0,5; 2,25)$.

3) $y = 0,3x^2 + 3,6x + 11,3$

Здесь коэффициенты: $a = 0,3$, $b = 3,6$, $c = 11,3$.
Так как $a = 0,3 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Найдем координаты вершины $(x_0, y_0)$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3,6}{2 \cdot 0,3} = -\frac{3,6}{0,6} = -6$.
$y_0 = 0,3(-6)^2 + 3,6(-6) + 11,3 = 0,3 \cdot 36 - 21,6 + 11,3 = 10,8 - 21,6 + 11,3 = 0,5$.
Вершина параболы находится в точке $(-6, 0,5)$.

Ответ: ветви направлены вверх, вершина в точке $(-6, 0,5)$.

4) $y = -3x^2 - 6x + 5$

Здесь коэффициенты: $a = -3$, $b = -6$, $c = 5$.
Так как $a = -3 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Найдем координаты вершины $(x_0, y_0)$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot (-3)} = -\frac{-6}{-6} = -1$.
$y_0 = -3(-1)^2 - 6(-1) + 5 = -3 \cdot 1 + 6 + 5 = -3 + 11 = 8$.
Вершина параболы находится в точке $(-1, 8)$.

Ответ: ветви направлены вниз, вершина в точке $(-1, 8)$.