Номер 92, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

92. Постройте график функции $f(x) = 6x - 3x^2$. Используя график, найдите:

1) наибольшее и наименьшее значения функции;

2) область значений функции;

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

4) множество решений неравенства $f(x) > 0; f(x) \le 0$.

Для построения графика функции $f(x) = 6x - 3x^2$ и его анализа, выполним следующие шаги:

1. Определение вида графика.

Функция $f(x) = -3x^2 + 6x$ является квадратичной. Её график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-3$ (отрицательное число), ветви параболы направлены вниз.

2. Нахождение вершины параболы.

Координаты вершины $(x_v, y_v)$ вычисляются по формулам:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-3)} = -\frac{6}{-6} = 1$.

$y_v = f(x_v) = f(1) = 6(1) - 3(1)^2 = 6 - 3 = 3$.

Следовательно, вершина параболы находится в точке $(1, 3)$.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy (при $x=0$):

$f(0) = 6(0) - 3(0)^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.

Пересечение с осью Ox (нули функции, при $f(x)=0$):

$6x - 3x^2 = 0$

$3x(2 - x) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Точки $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

4. Построение графика.

Используя вершину $(1, 3)$ и точки пересечения с осями $(0, 0)$ и $(2, 0)$, строим параболу.

Теперь, анализируя график, ответим на вопросы.

1) наибольшее и наименьшее значения функции;

График представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз. Самая высокая точка графика — это его вершина. Следовательно, наибольшее значение функции равно ординате вершины.

$y_{max} = 3$.

Поскольку ветви параболы уходят вниз в бесконечность, наименьшего значения у функции не существует.

Ответ: наибольшее значение функции равно 3; наименьшего значения не существует.

2) область значений функции;

Область значений — это множество всех возможных значений, которые принимает функция. Так как максимальное значение функции равно 3, а ветви уходят в минус бесконечность, то функция принимает все значения от $-\infty$ до 3 включительно.

Ответ: $E(f) = (-\infty, 3]$.

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

Функция возрастает (график идет вверх) на промежутке от $-\infty$ до абсциссы вершины. Функция убывает (график идет вниз) на промежутке от абсциссы вершины до $+\infty$.

Абсцисса вершины $x_v = 1$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$; функция убывает на промежутке $[1, \infty)$.

4) множество решений неравенства $f(x) > 0; f(x) \le 0$.

Неравенство $f(x) > 0$ соответствует тем значениям $x$, при которых график функции находится выше оси Ox. Это происходит между корнями функции, то есть между $x=0$ и $x=2$.

Неравенство $f(x) \le 0$ соответствует тем значениям $x$, при которых график функции находится ниже или на оси Ox. Это происходит левее корня $x=0$ (включая его) и правее корня $x=2$ (включая его).

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (0, 2)$; $f(x) \le 0$ при $x \in (-\infty, 0] \cup [2, \infty)$.