Номер 85, страница 53 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

85. Постройте график функции $y = (x + 4)^2 - 4$. Используя этот график, найдите:

1) нули функции;

2) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения;

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

4) область значений функции.

Для построения графика функции $y = (x + 4)^2 - 4$ сначала проанализируем её. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Данный график можно получить из графика стандартной параболы $y = x^2$ путем сдвига на 4 единицы влево по оси абсцисс и на 4 единицы вниз по оси ординат.

Вершина параболы находится в точке $(-4, -4)$. Так как коэффициент перед скобкой равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх. Осью симметрии является прямая $x = -4$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат. С осью Oy (при $x=0$): $y = (0+4)^2 - 4 = 16 - 4 = 12$. Точка пересечения — $(0, 12)$. С осью Ox (при $y=0$): $(x+4)^2 - 4 = 0$, что дает $(x+4)^2 = 4$, и, следовательно, $x+4 = 2$ или $x+4 = -2$. Отсюда получаем $x_1 = -2$ и $x_2 = -6$. Точки пересечения — $(-2, 0)$ и $(-6, 0)$.

По этим данным (вершина, направление ветвей, точки пересечения с осями) строим график. Теперь, используя этот график, найдем требуемые значения.

1) нули функции;

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Это абсциссы точек пересечения графика с осью Ox. Из анализа графика и приведенных выше расчетов следует, что график пересекает ось Ox в точках, где $x = -6$ и $x = -2$.

Ответ: $x_1 = -6$, $x_2 = -2$.

2) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения;

Функция принимает положительные значения ($y > 0$) на тех промежутках, где ее график расположен выше оси Ox. Глядя на график, мы видим, что это происходит левее точки $x = -6$ и правее точки $x = -2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (-2; +\infty)$.

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

Вершина параболы находится в точке $(-4, -4)$. Так как ветви параболы направлены вверх, функция убывает на промежутке до вершины и возрастает на промежутке после вершины. Ось симметрии $x=-4$ является границей между этими промежутками.

Промежуток убывания: $(-\infty; -4]$.

Промежуток возрастания: $[-4; +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; -4]$ и возрастает на промежутке $[-4; +\infty)$.

4) область значений функции.

Область значений — это множество всех возможных значений, которые может принимать функция $y$. Поскольку вершина параболы $(-4, -4)$ является ее точкой минимума, наименьшее значение функции равно $-4$. Так как ветви направлены вверх, функция может принимать любые значения, большие или равные $-4$.

Ответ: $y \in [-4; +\infty)$.