Номер 87, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

87. Постройте график функции $y = -\sqrt{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = 1 - \sqrt{x};$

2) $y = -2 - \sqrt{x+1}.$

Для построения заданных графиков сначала построим базовый график функции $y = -\sqrt{x}$. Этот график симметричен графику функции $y = \sqrt{x}$ относительно оси абсцисс (Ox). Область определения функции: $x \ge 0$. Область значений: $y \le 0$.

Найдем координаты нескольких ключевых точек для графика $y = -\sqrt{x}$:

• Если $x=0$, то $y=0$. Точка (0; 0).
• Если $x=1$, то $y=-1$. Точка (1; -1).
• Если $x=4$, то $y=-2$. Точка (4; -2).
• Если $x=9$, то $y=-3$. Точка (9; -3).

Соединив эти точки плавной линией, получим график функции $y = -\sqrt{x}$. Теперь, используя этот график как основу, построим требуемые графики.

Перепишем уравнение в виде $y = -\sqrt{x} + 1$. Это преобразование вида $y = f(x) + c$, где $f(x) = -\sqrt{x}$ и $c=1$. Чтобы построить график функции $y = f(x) + c$, необходимо сдвинуть график функции $y = f(x)$ на $|c|$ единиц вдоль оси ординат (Oy): вверх, если $c>0$, и вниз, если $c<0$.

В данном случае $c=1>0$, поэтому для построения графика $y=1-\sqrt{x}$ нужно сдвинуть график $y = -\sqrt{x}$ на 1 единицу вверх. Каждая точка $(x_0; y_0)$ базового графика перейдет в точку $(x_0; y_0+1)$. Например, точка (0; 0) перейдет в (0; 1), точка (1; -1) перейдет в (1; 0), а точка (4; -2) — в (4; -1).

Ответ: График функции $y=1-\sqrt{x}$ получается из графика $y=-\sqrt{x}$ путем параллельного переноса на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

Перепишем уравнение в виде $y = -\sqrt{x+1} - 2$. Для построения этого графика из графика $y = -\sqrt{x}$ нужно выполнить два последовательных преобразования.

Шаг 1: Горизонтальный сдвиг. Построим график функции $y = -\sqrt{x+1}$. Это преобразование вида $y = f(x+a)$, где $a=1$. Оно соответствует сдвигу графика $y = f(x)$ на $a$ единиц влево. Таким образом, сдвигаем график $y = -\sqrt{x}$ на 1 единицу влево вдоль оси Ox. Начало координат (0; 0) переместится в точку (-1; 0).

Шаг 2: Вертикальный сдвиг. Теперь построим график $y = -\sqrt{x+1} - 2$ из графика, полученного на первом шаге. Это преобразование вида $y = g(x) - b$, где $g(x) = -\sqrt{x+1}$ и $b=2$. Оно соответствует сдвигу графика $y=g(x)$ на $b$ единиц вниз. Таким образом, сдвигаем график $y = -\sqrt{x+1}$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

В итоге, чтобы получить график функции $y=-2-\sqrt{x+1}$, нужно сдвинуть график $y=-\sqrt{x}$ на 1 единицу влево и на 2 единицы вниз. Точка (0; 0) базового графика переместится в точку (-1; -2), точка (1; -1) — в (0; -3), а точка (4; -2) — в (3; -4).

Ответ: График функции $y=-2-\sqrt{x+1}$ получается из графика $y=-\sqrt{x}$ путем параллельного переноса на 1 единицу влево вдоль оси Ox и на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.