Номер 82, страница 53 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

82. На рисунке 8 изображён график функции $y = f(x)$. Постройте график функции:

1) $y = f(x) + 1$;2) $y = f(x - 1)$;3) $y = 2 - f(x)$.

Рис. 8

a

б

Для графика а)

Исходный график, обозначенный как 'а', является графиком функции $y=f(x)$. Это ветвь параболы, симметричной относительно горизонтальной оси, с вершиной в точке $(-1, 0)$. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; -1]$. Область значений: $E(f) = (-\infty; 0]$. Для построения будем использовать ключевые точки, которые легко считываются с графика: $(-1, 0)$, $(-2, -1)$, $(-5, -2)$.

1) y = f(x) + 1;

Чтобы построить график функции $y = f(x) + 1$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) исходного графика $y = f(x)$ на 1 единицу вверх вдоль оси ординат (оси OY). Каждая точка $(x, y)$ исходного графика перейдет в точку $(x, y+1)$.

• Точка $(-1, 0)$ перейдет в точку $(-1, 0+1) = (-1, 1)$.
• Точка $(-2, -1)$ перейдет в точку $(-2, -1+1) = (-2, 0)$.
• Точка $(-5, -2)$ перейдет в точку $(-5, -2+1) = (-5, -1)$.

Область определения не изменится, $D(y) = (-\infty; -1]$. Область значений сместится на 1 вверх, $E(y) = (-\infty; 1]$.

Ответ: График функции $y = f(x) + 1$ получается смещением исходного графика на 1 единицу вверх.

2) y = f(x - 1);

Чтобы построить график функции $y = f(x - 1)$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) исходного графика $y = f(x)$ на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс (оси OX). Каждая точка $(x, y)$ исходного графика перейдет в точку $(x+1, y)$.

• Точка $(-1, 0)$ перейдет в точку $(-1+1, 0) = (0, 0)$.
• Точка $(-2, -1)$ перейдет в точку $(-2+1, -1) = (-1, -1)$.
• Точка $(-5, -2)$ перейдет в точку $(-5+1, -2) = (-4, -2)$.

Область определения сместится на 1 вправо, $D(y) = (-\infty; 0]$. Область значений не изменится, $E(y) = (-\infty; 0]$.

Ответ: График функции $y = f(x - 1)$ получается смещением исходного графика на 1 единицу вправо.

3) y = 2 - f(x).

Построение графика функции $y = 2 - f(x)$ или, что то же самое, $y = -f(x) + 2$, выполняется в два этапа:

1. Сначала строим график функции $y_1 = -f(x)$. Это преобразование соответствует симметричному отражению исходного графика $y=f(x)$ относительно оси абсцисс (оси OX). Каждая точка $(x, y)$ исходного графика перейдет в точку $(x, -y)$.
   • Точка $(-1, 0)$ перейдет в точку $(-1, -0) = (-1, 0)$.
   • Точка $(-2, -1)$ перейдет в точку $(-2, -(-1)) = (-2, 1)$.
   • Точка $(-5, -2)$ перейдет в точку $(-5, -(-2)) = (-5, 2)$.
2. Затем строим график функции $y = y_1 + 2 = -f(x) + 2$. Для этого сдвигаем график $y_1 = -f(x)$ на 2 единицы вверх вдоль оси ординат. Каждая точка $(x, -y)$ графика $y_1$ перейдет в точку $(x, -y+2)$.
   • Точка $(-1, 0)$ перейдет в точку $(-1, 0+2) = (-1, 2)$.
   • Точка $(-2, 1)$ перейдет в точку $(-2, 1+2) = (-2, 3)$.
   • Точка $(-5, 2)$ перейдет в точку $(-5, 2+2) = (-5, 4)$.

Область определения не изменится, $D(y) = (-\infty; -1]$. Область значений после отражения станет $[0; +\infty)$, а после сдвига — $[2; +\infty)$.

Ответ: График функции $y = 2 - f(x)$ получается путем симметричного отражения исходного графика относительно оси OX с последующим смещением на 2 единицы вверх.

Для графика б)

Исходный график, обозначенный как 'б', является графиком функции $y=f(x)$. Это гипербола с вертикальной асимптотой $x=0$ и горизонтальной асимптотой $y=1$. Для построения будем использовать ключевые точки, которые легко считываются с графика: $(1, 2)$, $(-1, 0)$, $(2, 1.5)$, $(-2, 0.5)$.

1) y = f(x) + 1;

Чтобы построить график функции $y = f(x) + 1$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) исходного графика $y = f(x)$ на 1 единицу вверх вдоль оси OY. Каждая точка $(x, y)$ исходного графика перейдет в точку $(x, y+1)$.

• Вертикальная асимптота $x=0$ останется без изменений.
• Горизонтальная асимптота $y=1$ сместится на 1 вверх и станет $y=2$.
• Точка $(1, 2)$ перейдет в точку $(1, 3)$.
• Точка $(-1, 0)$ перейдет в точку $(-1, 1)$.

Ответ: График функции $y = f(x) + 1$ получается смещением исходного графика на 1 единицу вверх. Новая горизонтальная асимптота: $y=2$.

2) y = f(x - 1);

Чтобы построить график функции $y = f(x - 1)$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) исходного графика $y = f(x)$ на 1 единицу вправо вдоль оси OX. Каждая точка $(x, y)$ исходного графика перейдет в точку $(x+1, y)$.

• Вертикальная асимптота $x=0$ сместится на 1 вправо и станет $x=1$.
• Горизонтальная асимптота $y=1$ останется без изменений.
• Точка $(1, 2)$ перейдет в точку $(2, 2)$.
• Точка $(-1, 0)$ перейдет в точку $(0, 0)$.

Ответ: График функции $y = f(x - 1)$ получается смещением исходного графика на 1 единицу вправо. Новая вертикальная асимптота: $x=1$.

3) y = 2 - f(x).

Построение графика функции $y = 2 - f(x)$ или $y = -f(x) + 2$ выполняется в два этапа:

1. Сначала строим график функции $y_1 = -f(x)$. Это преобразование соответствует симметричному отражению исходного графика $y=f(x)$ относительно оси OX. Каждая точка $(x, y)$ исходного графика перейдет в точку $(x, -y)$.
   • Вертикальная асимптота $x=0$ останется без изменений.
   • Горизонтальная асимптота $y=1$ отразится симметрично относительно оси OX и станет $y=-1$.
   • Точка $(1, 2)$ перейдет в точку $(1, -2)$.
   • Точка $(-1, 0)$ перейдет в точку $(-1, 0)$.
2. Затем строим график функции $y = y_1 + 2 = -f(x) + 2$. Для этого сдвигаем график $y_1 = -f(x)$ на 2 единицы вверх вдоль оси OY. Каждая точка $(x, -y)$ графика $y_1$ перейдет в точку $(x, -y+2)$.
   • Вертикальная асимптота $x=0$ останется без изменений.
   • Горизонтальная асимптота $y=-1$ сместится на 2 вверх и станет $y=1$.
   • Точка $(1, -2)$ перейдет в точку $(1, 0)$.
   • Точка $(-1, 0)$ перейдет в точку $(-1, 2)$.

Ответ: График функции $y = 2 - f(x)$ получается путем симметричного отражения исходного графика относительно оси OX с последующим смещением на 2 единицы вверх. Горизонтальная асимптота итогового графика совпадает с исходной: $y=1$.