Номер 75, страница 52 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

75. Найдите нули функции:

1) $f(x) = -0,2x + 5$;

2) $f(x) = 5x^2 - 6x + 1$;

3) $f(x) = \sqrt{3 - x}$;

4) $f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x + 1}$;

5) $f(x) = \sqrt{|x|} - 2$;

6) $f(x) = \sqrt{|x|} + 1$;

7) $f(x) = (x - 2)\sqrt{x - 3}$.

1) Чтобы найти нули функции $f(x) = -0,2x + 5$, нужно решить уравнение $f(x) = 0$.
$-0,2x + 5 = 0$
$-0,2x = -5$
$x = \frac{-5}{-0,2}$
$x = 25$
Ответ: 25.

2) Приравниваем функцию $f(x) = 5x^2 - 6x + 1$ к нулю:
$5x^2 - 6x + 1 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$
$\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4$
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 4}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = 0,2$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 4}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$
Ответ: 0,2; 1.

3) Для функции $f(x) = \sqrt{3-x}$ сначала найдем область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$3 - x \ge 0 \implies x \le 3$
Теперь найдем нули, решив уравнение $f(x) = 0$:
$\sqrt{3-x} = 0$
Возведем обе части в квадрат:
$3 - x = 0$
$x = 3$
Значение $x = 3$ удовлетворяет области определения.
Ответ: 3.

4) Для функции $f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x + 1}$ область определения исключает значения, при которых знаменатель равен нулю:
$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$
Нули функции соответствуют корням числителя, которые входят в область определения.
Приравниваем числитель к нулю:
$x^2 - 2x - 3 = 0$
Найдем корни, например, по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 2$ и $x_1 \cdot x_2 = -3$. Корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Проверяем корни по области определения. Корень $x = -1$ не входит в область определения, поэтому он не является нулем функции.
Единственный нуль функции - это $x=3$.
Ответ: 3.

5) Для функции $f(x) = \sqrt{|x| - 2}$ найдем область определения из условия $|x| - 2 \ge 0$:
$|x| \ge 2$, что означает $x \le -2$ или $x \ge 2$.
Решим уравнение $f(x) = 0$:
$\sqrt{|x| - 2} = 0$
$|x| - 2 = 0$
$|x| = 2$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Оба значения входят в область определения функции.
Ответ: -2; 2.

6) Для функции $f(x) = \sqrt{|x| + 1}$ область определения: $|x| + 1 \ge 0$. Так как $|x| \ge 0$ для любого $x$, то $|x| + 1 \ge 1$. Следовательно, функция определена для всех действительных чисел.
Найдем нули функции:
$\sqrt{|x| + 1} = 0$
$|x| + 1 = 0$
$|x| = -1$
Это уравнение не имеет решений, так как модуль действительного числа не может быть отрицательным.
Ответ: нулей нет.

7) Для функции $f(x) = (x - 2)\sqrt{x - 3}$ найдем область определения:
$x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$
Решим уравнение $f(x) = 0$:
$(x - 2)\sqrt{x - 3} = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $x - 2 = 0 \implies x = 2$. Этот корень не входит в область определения ($2 < 3$).
2) $\sqrt{x - 3} = 0 \implies x - 3 = 0 \implies x = 3$. Этот корень входит в область определения.
Таким образом, функция имеет единственный нуль.
Ответ: 3.